一類(lèi)函數(shù)圖象上的特殊“點(diǎn)對(duì)”問(wèn)題的求解策略

函數(shù)圖象上特殊的“點(diǎn)對(duì)”問(wèn)題是函數(shù)教學(xué)中經(jīng)常遇到的，對(duì)于常規(guī)的某一個(gè)函數(shù)中存在關(guān)于原點(diǎn)、x軸、y軸及某條直線等對(duì)稱(chēng)的“點(diǎn)對(duì)”問(wèn)題，思維的方向還是較明確的，但對(duì)于特殊的“點(diǎn)對(duì)”問(wèn)題，則需要在弄清題意的基礎(chǔ)上進(jìn)行轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題解決的優(yōu)化，應(yīng)在教學(xué)中高度重視.

問(wèn)題1 函數(shù)y=11-x的圖象與函數(shù)y=2sinπx（-2≤x≤4）的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于（）.

A.2B.4C.6D.8

本問(wèn)題中求兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和，則需首先研究這兩個(gè)函數(shù)的特征，先看函數(shù)y1=11-x，它是由函數(shù)y=-1x經(jīng)過(guò)變換得到的，而函數(shù)y=-1x關(guān)于點(diǎn)（0，0）成中心對(duì)稱(chēng)，所以函數(shù)y=11-x關(guān)于點(diǎn)（1，0）成中心對(duì)稱(chēng);又因?yàn)楹瘮?shù)y2=2sinπx的圖象也關(guān)于點(diǎn)（1，0）成中心對(duì)稱(chēng)，這樣兩個(gè)函數(shù)恰有公共的對(duì)稱(chēng)中心（1，0）.

作出兩個(gè)函數(shù)的圖象（如圖1所示），當(dāng)1

因?yàn)楹瘮?shù)y1在（1，4）上的函數(shù)值為負(fù)數(shù)，且與y2的圖象有四個(gè)交點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，y1在（-2，1）上函數(shù)值為正數(shù)，且與y2的圖象有四個(gè)交點(diǎn)A，B，C，D，很顯然A與H，B與G，C與F，D 與E均成點(diǎn)對(duì)，所以有xA+xH=xB+xG=xC+xF=xD+xE=2，故所求的橫坐標(biāo)之和為8，故選D.

本題抓住兩個(gè)函數(shù)均關(guān)于對(duì)稱(chēng)中心成“點(diǎn)對(duì)”的問(wèn)題，利用函數(shù)性質(zhì)，探究交點(diǎn)之間的對(duì)稱(chēng)關(guān)系，使問(wèn)題得以解決.

問(wèn)題2 已知函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（x）=f（2-x），若函數(shù)y=x2-2x-3 與y=f（x）圖象的交點(diǎn)為（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），則∑mi=1xi=（）.A.0B.mC.2mD.4m

本題從條件f（x）=f（2-x）可以知道，函數(shù)y=f（x）關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，函數(shù)y=|x2-2x-3|也關(guān)于x=1對(duì)稱(chēng)，這樣兩個(gè)函數(shù)有共同的對(duì)稱(chēng)軸x=1，因此它們的交點(diǎn)就關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng).如圖2：

當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，其和為2×m2=m，當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，其和為2×m-12+1=m，

因此選B.

本問(wèn)題用到了重要的結(jié)論：如果函數(shù)f（x）滿足x∈D，恒有f（a+x）=f（b-x），那么函數(shù)的圖象有對(duì)稱(chēng)軸

x=a+b2.很顯然這是一個(gè)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的“點(diǎn)對(duì)”問(wèn)題.

問(wèn)題3 已知函數(shù)g（x）=a-x21e≤x≤e與h（x）=2lnx的圖象上存在關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）.

A.1，1e2+2B.[1，e2-2]

C.1e2+2，e2-2D.[e2-2，+∞）

本題中兩個(gè)函數(shù)存在關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，即“點(diǎn)對(duì)”，那又如何解決呢？

解決本問(wèn)題的關(guān)鍵是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng)x∈1e，e時(shí)，方程a-x2=-2lnx有解即可，即a=x2-2lnx.設(shè)f（x）=x2-2lnx，則函數(shù)f（x）的值域就是實(shí)數(shù)a的取值范圍.

由f′（x）=2x-2x=2x2-2x=0，得x=1.當(dāng)x∈1e，1時(shí)，f′（x）<0，當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，f′（x）>0，所以函數(shù)f（x）在1e，1單調(diào)遞減，在[1，e]單調(diào)遞增.所以f（x）min=f（1）=1，又f1e=1e2+2，f（e）=e2-2>f1e，所以f（x）max=e2-2，這樣1≤f（x）≤e2-2，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，e2-2]，即選B.

本題是將函數(shù)存在關(guān)于x軸的“點(diǎn)對(duì)”問(wèn)題化歸為方程有解問(wèn)題，考查學(xué)生化歸與轉(zhuǎn)化的能力.

問(wèn)題4 已知函數(shù)f（x）=x2+ex-12（x<0）與g（x）=x2+ln（x+a）圖象上存在關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，則a的取值范圍是（）.

本問(wèn)題與上題類(lèi)似，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)存在關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，則函數(shù)f（x）與g（-x）必然存在交點(diǎn)，所以構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）-g（-x）在（-∞，0）必然存在零點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)便可得到a的范圍.

若存在x0∈（-∞，0）滿足f（x0）=g（-x0）x20+ex0-12=（-x0）2+ln（-x0+a），即

ex0-ln（-x0+a）-12=0，令h（x）=ex-ln（-x+a）-12，因?yàn)楹瘮?shù)y=ex和y=-ln（-x+a）在定義域內(nèi)都是單調(diào)遞增的，所以函數(shù)h（x）=ex-ln（-x+a）-12在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的，又因?yàn)閤趨近于-∞時(shí)，函數(shù)h（x）<0且h（x）=0在（-∞，0）上有解（即函數(shù)h（x）有零點(diǎn)），所以h（0）=e0-ln（0+a）-12>0lna

問(wèn)題5 已知函數(shù)f（x）=sinπ2x-1，x>0，loga（-x），x<0，（a>0，且a≠1）的圖象上關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)至少有5對(duì)，則實(shí)數(shù)則a的取值范圍是（）.

A.0，55 B.55，1

C.77，1 D.0，77

本問(wèn)題中函數(shù)y=f（x）的圖象上關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的“點(diǎn)對(duì)”至少要有5對(duì)，實(shí)質(zhì)上就是函數(shù)y=-sin（π2x）-1（x<0）與函數(shù)y=loga（-x）（x<0）至少要有5個(gè)不同的交點(diǎn)即可.畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)圖象（如圖3）：

從圖象可知，當(dāng)a>1時(shí)不符合題意，只有當(dāng)0-2，即a<77時(shí)滿足條件，所以0

以上兩問(wèn)題是將存在關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的“點(diǎn)對(duì)”問(wèn)題，化歸為函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，雖然考查了函數(shù)零點(diǎn)的判定，但仍需要探究函數(shù)性質(zhì)，抓住了問(wèn)題的本質(zhì)便可使問(wèn)題輕松破解.

有些問(wèn)題的“點(diǎn)對(duì)”給出的形式是以新定義型問(wèn)題給出的，增添了問(wèn)題的新穎性，其實(shí)質(zhì)并沒(méi)有發(fā)生變化.如：

問(wèn)題6 若函數(shù)y=f（x）的圖象上存在不同的兩點(diǎn)M、N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則稱(chēng)點(diǎn)對(duì)（M，N）是函數(shù)y=f（x）的一對(duì)“和諧點(diǎn)對(duì)”（點(diǎn)對(duì)（M，N））與（N，M）看作同一對(duì)“和諧點(diǎn)對(duì)”.已知函數(shù)f（x）=ex，x<0，x2-4x，x>0，則此函數(shù)的“和諧點(diǎn)對(duì)”有（）.

A.1對(duì)B.2對(duì)C. 3對(duì)D.4對(duì)

本問(wèn)題屬于新定義型的信息題，此問(wèn)題解決得關(guān)鍵是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為學(xué)過(guò)的知識(shí)與方法，從本題題意上分析，函數(shù)f（x）=ex，x<0，x2-4x，x>0，的“和諧點(diǎn)對(duì)”的個(gè)數(shù)就是其部分圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的圖象與另一部分圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，這種轉(zhuǎn)化使問(wèn)題的解決“易如反掌”.

作出函數(shù)f（x）=ex，x<0，x2-4x，x>0，的圖象（如圖4所示），由題意知函數(shù)y=f（x）的“和諧點(diǎn)對(duì)”數(shù)就是函數(shù)y=ex（x<0）和函數(shù)y=-x2-4x（x<0）圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù).由圖象知，函數(shù)y=f（x）有2對(duì)“和諧點(diǎn)對(duì)”.故選B.問(wèn)題7 若函數(shù)y=f（x）滿足：對(duì)y=f（x）圖象上任意點(diǎn)P（x1，f（x1））總存在點(diǎn)P′（x2，f（x2））也在y=f（x）的圖象上，使得x1x2+f（x1）f（x2）=0成立，則稱(chēng)函數(shù)y=f（x）是“特殊對(duì)點(diǎn)函數(shù)”.給出下列五個(gè)函數(shù)：

（1）y=x-1;（2）y=lnx;（3）y=ex-2;（4）y=sinx+1;（5）y=1-x2.

其中是“特殊對(duì)點(diǎn)函數(shù)”的序號(hào)是（寫(xiě)出所有正確的序號(hào)）.

本問(wèn)題屬于新定義型信息題，問(wèn)題求解的關(guān)鍵是弄清什么是“特殊對(duì)點(diǎn)函數(shù)”.從題意上看函數(shù)y=f（x）圖象上任意點(diǎn)P（x1，f（x1））總存在點(diǎn)P′（x2，f（x2））也在函數(shù)y=f（x）圖象上且滿足x1x2+f（x1）f（x2）=0，其實(shí)質(zhì)就是OP·OP′=0，即

OP⊥OP′.

對(duì)于（1）y=x-1，作出函數(shù)圖象，如圖5知，當(dāng)P（1，1）時(shí)，滿足OP⊥OP′的點(diǎn)不在函數(shù)y=x-1上，故（1）y=x-1不是“特殊對(duì)點(diǎn)函數(shù)”;

對(duì)于（2）y=lnx，作出函數(shù)圖象，如圖6，當(dāng)P（1，0）時(shí)，滿足OP⊥OP′的點(diǎn)不在函數(shù)y=lnx上，故（2）y=lnx不是“特殊對(duì)點(diǎn)函數(shù)”;

對(duì)于（3）y=ex-2，作出函數(shù)圖象，如圖7知，對(duì)于任意點(diǎn)P（x1，f（x1）），其圖象上都存在點(diǎn)P′（x2，f（x2））在函數(shù)圖象上，且滿足OP⊥OP′，故（3）y=ex-2是“特殊對(duì)點(diǎn)函數(shù)”;

對(duì)于（4）y=sinx+1，作出函數(shù)圖象，如圖8知，對(duì)于任意點(diǎn)P（x1，f（x1）），其圖象上都存在點(diǎn)P′（x2，f（x2））在函數(shù)圖象上，且滿足OP⊥OP′，故（4）y=sinx+1是“特殊對(duì)點(diǎn)函數(shù)”;

對(duì)于（5）y=1-x2 作出函數(shù)圖象，如圖9知，對(duì)于任意點(diǎn)P（x1，f（x1）），其圖象上都存在點(diǎn)P′（x2，f（x2））在函數(shù)圖象上，且滿足OP⊥OP′，故（5）y=1-x2是“特殊對(duì)點(diǎn)函數(shù)”.

綜上，答案應(yīng)填：（3）（4）（5）.

通過(guò)以上函數(shù)圖象上特殊“點(diǎn)對(duì)”問(wèn)題的解決可以看出，解決問(wèn)題的通法是先作出函數(shù)對(duì)稱(chēng)部分的圖象，再轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)問(wèn)題，當(dāng)然靈活運(yùn)用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是問(wèn)題解決的關(guān)鍵所在.

作者簡(jiǎn)介 王新兵（1963—），男，天津市人，天津市特級(jí)教師，首批正高級(jí)教師，天津師大碩士學(xué)位研究生導(dǎo)師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.曾被評(píng)為天津市優(yōu)秀教師思想政治工作者，并獲市級(jí)優(yōu)秀教師獎(jiǎng)?wù)拢嗥撐脑趪?guó)家級(jí)、市級(jí)刊物發(fā)表，著《高中數(shù)學(xué)典型問(wèn)題的教學(xué)思維》一書(shū).