也談通法求“（A/aⁿ）+B/bⁿ）”型結構的最小值

1 研究的源由

貴刊2019年第9期《通法求“Aan+Bbn”型結構的最小值》（文[1]）一文中，作者利用二項式定理與均值不等式，對下列5個結構一致的問題進行研究.

題目 若正數a，b滿足a+b=1，求：

（1）1a+2b的最小值;（2）1a2+2b2的最小值;（3）1a3+2b3的最小值;（4）1a4+2b4的最小值;（5）1a5+2b5的最小值.

并從中得到一個結論：

結論1 若正數a，b滿足a+b=1，則Aan+Bbn （A>0，B>0，n≥1，n∈N*）的最小值為（n+1A+n+1B）n+1，當且僅當Ban+1=Abn+1時取到.

在結論1的基礎上，文[1]再給出型如“Aan+Bbn”結構的更一般形式（結論2）及一個變形問題：

結論2 若正數a，b滿足pa+qb=d，則Aan+Bbn （p>0，q>0，d>0，A>0，B>0，n≥1，n∈N*）的最小值為1dn（pn+1A+qn+1B）n+1，當且僅當Bpan+1=Aqbn+1時取到.

變形問題 若正數a，b滿足Aa+Bb=d，則pan+qbn （p>0，q>0，d>0，A>0，B>0，n≥1，n∈N*）的最小值為何？

文[1]中的上述問題與各個結論的形式優美，引起筆者的興趣，也對此進行探究，得到一個簡潔的統一證法，并發現文[1]的結論2所得的最小值有誤.特意成文，與讀者分享.

2 兩種證法的比較

為了比較不同證法之間的差異，將文[1]中結論1的證明摘錄如下：

參考文獻

[1] 金霞，杜文發.通法求“Aan+Bbn”型結構的最小值[J].中學數學雜志，2019（9）：41-43.

[2] 林國紅.一道“希望杯”賽題的七種解法[J].數理天地（高中版），2020（1）：26-27.

作者簡介

林國紅（1977—），男，廣東佛山人.中學數學一級教師，大學本科學歷，研究方向：數學教育.發表教學論文60余篇.