我為高考設計題目(4)

題1 把四個面都是直角三角形的四面體叫做鱉臑.

若從鱉臑的六條棱中任取兩條棱，則它們互相垂直的概率是p1;若從鱉臑的六條棱和四個面中任取一條棱和一個面（要求棱不在面上），則它們互相垂直的概率是p2;若從鱉臑的四個面中任取兩個面，則它們互相垂直的概率是p3.可得p1，p2，p3的值分別是（）.

A.13，16，12B.13，12，16C.16，12，13D.13，1，12

圖1

解 A.可以證明：鱉臑就是從一個Rt△BCD（可不妨設∠BCD=90°）的銳角頂點（可不妨設為點B）處作平面BCD的垂線段BA而后得到的四面體ABCD（如圖1所示，可把鱉臑ABCD放置在長方體中），因而我們可在如圖1所示的鱉臑ABCD中來求解.

（1）可得鱉臑ABCD的六條棱中任取兩條有C26=15種取法，其中互相垂直的情形有5種：AB⊥BC，AB⊥BD，AB⊥CD，AC⊥CD，BC⊥CD.

所以所求概率是515=13.

（2）從鱉臑ABCD的六條棱和四個面中任取一條棱和一個面（要求棱不在面上），有3·4=12種，其中它們互相垂直的情形有2種：AB⊥平面BCD，DC⊥平面ABC.

所以所求概率是212=16.

（3）從鱉臑ABCD的四個面中任取兩個面有C24=6種取法，其中互相垂直的情形有3種：平面ABC⊥平面BCD，平面ABC⊥平面ACD，平面ABD⊥平面BCD.

所以所求概率是36=12.

考查目標 （1）對文字（新定義）的閱讀理解及等價轉化;（2）對立體幾何圖形中“垂直”的理解及其應用：包括直線與直線垂直、直線與平面垂直、平面與平面垂直的定義、判定及性質;（3）用枚舉法求古典概型.

設計思路 2015年高考湖北卷理科第19題及文科第20題均是涉及“鱉臑”的數學文化高考題;普通高中課程標準實驗教科書《數學2·必修·A版》（人民教育出版社，2007年第3版）第69頁的例3，第69頁的“探究”， 第73頁的第3題也均涉及“鱉臑”.

鱉臑是一種特殊的四面體，值得深入研究，因而編擬了本題.

甘志國編著《2019年高考數學真題研究》（哈爾濱工業大學出版社，2020）中收錄的文章《鱉臑的形狀》中證明了結論：鱉臑就是從一個Rt△BCD（可不妨設∠BCD=90°）的銳角頂點（可不妨設為點B）處作平面BCD的垂線段BA而后得到的四面體ABCD，鱉臑也是恰好是在兩個頂點處的三個角中均恰有兩個角是直角的四面體.

難度估計 0.66.

題2 已知多項式p（x）=x3-3x+1有三個零點a，b，c（a

A.是aB.是bC.是cD.不是b且不是c

假設p（x）的三個實根中有兩個是互為相反數（設為s，-s），可得

考查目標 （1）考查連續函數根的存在定理（也叫堪根定理）的應用;（2）集合元素的互異性及其在解題中的應用;（3）邏輯推理特別是反證法在解題中的應用.

設計思路 筆者曾經研究過多項式p（x）=x3-3x+1的零點問題，并且得到了其三個零點從小到大依次是-2cos20°，2sin10°，2cos40°.但該結論對于廣大高中師生都很陌生，筆者深入研究此結論后，編擬了這道漂亮的選擇題.

難度估計 0.48.

解 A.可得題設f′（x）<2f（x）即f′（x）-2f（x）<0.聯想到求導運算法則uv′=u′v-uv′v2，可構造待定的函數g（x）=f（x）eax（其中a是待定的常數）.

可得g′（x）=f′（x）-af（x）eax，與題設“f′（x）-2f（x）<0”相對照知，可選a=2.

進而可得g（x）=f（x）e2x，g′（x）=f′（x）-2f（x）e2x<0，g（x）是減函數.

由ln32gln52，即5fln32>3fln52.

考查目標 （1）構造函數解決抽象函數問題;（2）用導數解決函數的單調性，再解決相應的抽象函數問題.

設計思路 用導數解決抽象函數問題難度較大，解答的關鍵是構造出合理的函數.本題由此作為出發點編擬而成.

難度估計 0.49.

題4 華夏人壽保險股份有限公司推出了一種“華夏富貴竹年金保險（3年期）”的保險產品：購買者須在三年的同一時間段各買一筆保險a（a≥1，10a∈N*）萬元（共購買3次，每次a萬元），從第一次購買后可續存b（0.01b∈N*）元，且續存的這些錢將從次日起按每天0.11 ‰的利率復利計息，續存款的本息可隨時取出（到自己的銀行賬戶）.G先生于2017年3月1日買了1.5萬元“華夏富貴竹年金保險（3年期）”，接著又于2017年4月1日續存了2.22萬元，等到2018年4月1日（到了這一天，存期是1年即365天）G先生的這筆續存款產生的本息和是（答案中的冪不必計算）.

解 2.22×1.00011365萬元.由復利計算本息和公式，可得所求答案是

2.22×（1+0.11‰）365=2.22×1.00011365（萬元）.

考查目標 對文字的閱讀理解并轉化成相應的數學模型（本題的模型是指數函數中的復利計算本息和公式）.

設計思路 本題是由真實生活中遇到的問題編擬而成.

考查目標 （1）考查空間角問題（包括線與線、線與面、面與面之間的平行、垂直）;（2）均值不等式及導數在求取值范圍問題中的應用.

設計思路 可以說立體幾何只包含兩大類問題：空間角與空間距離.教材以空間角為重點，考題也是如此.把本題第（2）問改為“（2）設直線PB與平面PAC所成角的大小為θ，當θ變化時，求sinθ的最大值”后，可作為文科學生練習，且不需求導，用均值不等式即可求解;圖5中的四面體PABC是鱉臑.

難度估計 0.50.

作者簡介 甘志國（1971—），湖北竹溪人，研究生學歷.正高級教師，特級教師，湖北名師.研究方向：解題研究、高考研究和初等數學研究.