2020年臺灣地區學測（數學）選擇題賞析

鐘勁松

1 前言

臺灣地區學科能力測試（簡稱“學測”）包括國文、英文、數學、社會、自然五科，旨在測驗考生是否具有接受大學教育的基本學科能力，是大學校系初步篩選學生的門檻. 2020年臺灣地區數學測試考試共20道題，其中單選題7道（試題1-7），多選題6道（試題8-13），選填題7道.考試時間共100分鐘，滿分100分.本文對臺灣地區學測考試（數學）的選擇題進行解析和點評，并對其特點進行總結，旨在讓讀者大致了解臺灣地區學測考試的主要內容和特點.

2 試題賞析

試題1 已知兩個直角三角形三邊長分別為3、4、5，5、12、13，α，β分別為它們的一角，如圖1所示. 試選出正確的選項（）.

解析 根據圖形可知，sinα=35，sinβ=513，因為sin30°=12，又因為513<12<35，所以sinβ

點評 本題考查了正弦在直角三角形中的定義，

根據正弦函數y=sinx，x∈0，π2的單調性

比較數值大小即可得到答案，屬于一道較容易題.

試題2 空間中有相異四點A，B，C，D，已知內積AB·AC=AB·AD.試選出正確的選項.

（1）AB·CD=0;（2）AC=AD;（3）AB與CD平行;（4）AD·BC=0;（5）A，B，C，D四點在同一平面上.

解析 根據題意可知AB·AC=AB·AD，所以

AB·AC-AB·AD=0AB·AC-AD=0AB·CD=0，所以選項（1）正確，故選（1）.

點評 本題無需計算出數量積的具體數值，只需要稍作變形即可得到答案.實際上，根據AB·AC=AB·AD可知AC，AD在AB上的投影相等，且C，D是不同的兩點，所以有AB·CD=0.

試題3 如圖2所示，O為正六邊形之中心.試問下列哪個向量的終點P落在△ODE內部（不含邊界）？

解析 要使終點P在△ODE內（不含邊界），不僅要結果向量的方向在邊界內，而且還要使結果向量的終點落在△ODE區域內.據向量加法的幾何意義，選項（1）對應的點P在射線OD上，且OP=OD=OC+OE，

同理，根據向量加法的幾何意義知

選項（3）（4）（5）對應的點P（OP的方向）均不在△ODE區域內，所以選項（2）正確.

點評 本題考查了向量的有關運算（向量的加法和數乘），本題不需要設坐標進行代數運算，只需要了解和理解向量加法的幾何意義即可.本題以特殊的平面圖形——正六邊形為載體，從形的方面考查對向量加法幾何意義本質的理解.

試題4 令I=1001，A=1134，B=I+A+A-1，試選出代表BA的選項.

（1）1001;（2）6006;（3）4-1-31;（4）1134;（5）661824.

解析 因為B=I+A+A-1，等式兩邊同乘以矩陣A可得.

因為BA=IA+A2+A-1A=10011134+11342+1001=661824，所以BA=661824，故選（5）.

點評 本題考查了矩陣的加法和乘法運算，特別注意的是運算技巧，不要首先將矩陣B算出來，再與矩陣A相乘，這樣比較復雜. 同樣也不要將計算矩陣BA的值算成計算矩陣AB的值.一般情況下，矩陣的乘法不滿足交換律.實際上，上面的計算過程還可以簡化為BA=IA+A2+A-1A=IA+A2+I=（I+A）A+I，同樣可以得到正確的結果.

試題5 試問數線上有多少個整數點與101的距離小于5，但與點38的距離大于3？

（1）1個;（2）4個;（3）6個;（4）8個;（5）10個.

解析 因為10<101<11，所以數線上與101小于5的整數點有x=6，7，8，9，10，11，12，14，15，共10個;又因為6<38<7，所以數線上到38的距離大于3的整數點滿足x10或x≤3. 所以，滿足與101的距離小于5，且與點38的距離大于3的整數點有x=10，11，12，13，14，15，共6個，故選（3）.

點評 本題考查了絕對值不等式的解法，將同時滿足兩個條件的整數點在數線（即數軸）上表示出來，不難得出共6個整數點滿足條件.實質上，本題考查了數形結合的思想和估算的能力，考生若能運用數形結合的思想，并在估算方面能力較強，不需要運算就可以又快又準地得出答案.

試題6 連續投擲一公正骰子兩次，設出現的點數依序為a，b.試問發生log（a2）+logb>1的概率為多少？

（1）13;（2）12;（3）23;（4）34;（5）56.

解析 投擲一公正骰子兩次，共有6×6=36種可能結果.

又因為loga2+logb>1，所以a2b>10.

我們先考慮a2b≤10的情況：

當a=1時，b=1，2，3，4，5，6，共6種結果;

當a=2時，b=1，2，共2種結果;

當a=3時，b=1，共1種結果.

所以，發生log（a2）+logb>1的概率p=36-（6+2+1）36=2736=34，故選（4）.

點評 本題為一道求古典概率題，從正面求滿足a2b>10的整數對（a，b）的個數較多，所以從反面求a2b≤10的整數對（a，b）的個數（共6+2+1=9（個）），體現了處理數學問題時正難則反的思想.本題將求古典概率與對數函數的變形交匯，在知識的交匯處命題.值得注意的是這里loga表示以10為底a的對數，等同于大陸教材中常用符號lga.

試題7 坐標平面上，函數圖形y=-3x3上有兩點P，Q到原點距離皆為1.已知點P坐標為cosθ，sinθ，試問點Q坐標為？

（1）（cos（-θ），sin（-θ））;（2）（-cosθ，sinθ）;（3）（cos（-θ），-sinθ）;（4）（-cosθ，sin（-θ））;（5）（cosθ，-sinθ）.

解析 因為y=-3x3是奇函數，其圖形關于原點成中心對稱，P，Q到原點距離皆為1，所以P，Q兩點關于原點成中心對稱，因為Pcosθ，sinθ，所以Q（-cosθ，-sinθ），即Q（-cosθ，sin（-θ）），所以選（4）.

點評 本題考查的知識點有冪函數和三角函數的性質，關鍵是根據P，Q兩點到原點距離皆為1推導出P，Q關于原點成中心對稱.

試題8 有一個游戲的規則如下：丟三顆公正的骰子，若所得的點數恰滿足下列（A）或（B）兩個條件之一，可得到獎金100元;若兩個條件都滿足，則共得200元獎金;若兩個條件都不滿足，則無獎金.

（A）三個點數皆為奇數或者皆為偶數

（B）三個點數由小排到大為等差數列

若已知有兩顆骰子的點數分別為1，3，且所得的獎金為100元，則未知的骰子點數可能為何？

（1）2;（2）3;（3）4;（4）5;（5）6.

解析 因為所得獎金為100元，則三個點數滿足條件（A）（B）之一.

當未知的骰子的點數為2時，符合條件（B），但不符合條件（A），所以選項（1）正確;

當未知的骰子的點數為3時，符合條件（A），但不符合條件（B），所以選項（2）正確;

當未知的骰子的點數為4時，條件（A）（B）均不滿足，選項（3）錯誤;

當未知的骰子的點數為5時，條件（A）（B）均滿足，選項（4）錯誤;

當未知的骰子的點數為6時，條件（A）（B）均不滿足，選項（5）錯誤.

故選（1）（2）.

點評 本題是多項選擇題，較為容易，認真審題即可得到正確答案.

試題9 在坐標平面上，有一通過原點O的直線L，以及一半徑為2、圓心為原點O的圓Γ.P，Q為Γ上相異兩點，且OP，OQ分別與L所夾的銳角皆為30°，試選出內積OP·OQ之值可能發生的選項.

（1）23;（2）-23;（3）0;（4）-2;（5）-4.

解析 根據題意可知，OP，OQ的夾角可能為60°，120°，180°，所以OP·OQ=|OP||OQ|cos〈OP，OQ〉.

當〈OP，OQ〉=60°時，OP·OQ=22cos60°=2;

當〈OP，OQ〉=120°時，OP·OQ=22cos120°=-2;

當〈OP，OQ〉=180°時，OP·OQ=22cos180°=-4;

所以，正確的選項為（4）（5）.

點評 本題考查了考生的分類討論的思想和向量的數量積等知識的運用，注意到直線和向量的區別. 根據題意，OP，OQ的夾角有3種情形，如圖3所示，即〈OP，OQ〉=180°，〈OP，OQ1〉=60°，〈OP，OQ2〉=120°.值得一提的是，選項中并沒有答案為“2”這一選項，也就是說，在多項選擇題的命制中，選項不一定要覆蓋所有可能值.

試題10 已知多項式f（x）=3x4+11x2-4，試選出正確的選項.

（1）y=f（x）的圖形與y軸交點的y坐標小于0;

（2）f（x）=0有4個實根;

（3）f（x）=0至少有一個有理根;

（4）f（x）=0有一根介于0與1之間;

（5）f（x）=0有一根介于1與2之間.

解析 對于選項（1）來說，y=f（x）的圖形與y軸交點的y坐標，即當x=0時y的值，顯然有y=f（0）=-4<0，選項（1）正確;

對于選項（2），因為f（x）=3x4+11x2-4=（3x2-1）（x2+4），當f（x）=0時，有3x2-1=0或x2+4=0，顯然，f（x）=0只有兩個不同的實根x1，2=±33，其余兩個根為虛根x3，4=±2i（i為虛數單位，即i2=-1），故選項（2）錯誤;

對于選項（3），由選項（2）可知，f（x）=0沒有一個有理根，4個根分別為兩個無理根，兩個虛根，故選項（3）錯誤;

對于選項（4），因為0<33<1，故f（x）=0有一根介于0與1之間，選項（4）正確，選項（5）錯誤.

點評 本題從多個方面考查了多項式函數（次數為4）的圖形和性質，如圖形與y軸交點的縱坐標的正負，根的類型和根的范圍等等. 首先，遇到與多項式函數有關的問題時，因式分解是關鍵，將高次降為低次進行問題解決. 其次，若不能夠因式分解，則運用多形式函數的有關定理，如余數定理、綜合除法、虛根成對定理、代數基本定理和插值公式來解決問題.

試題11 設a，b，c為實數且滿足loga=1.1，logb=2.2，logc=3.3.試選出正確的選項.

（1）a+c=2b;（2）1

解析 對于選項（1），因為loga+logc=2logb，所以有b2=ac，并不能推導出a+c=2b，故選項（1）錯誤;實際上，因為c=a3，b=a2，若a+c=2b，則有a+a3=2a2，又因為a>10，所以a+a3=2a2無解，所以a+c=2b錯誤;

對于選項（2），因為a=101.1>10，與1

對于選項（3），因為c=103.3=103·100.3，顯然有100.3>1，若100.3>2，則有0.3>log2，而log2≈0.3010，與0.3>log2矛盾，所以1<100.3<2，因此1000

對于選項（4），因為logbloga=2，所以b=a2，不能推導出b=2a，若b=2a，則兩邊取以10為底的對數，則有logb=log2a=log2+loga，所以log2=logb-loga=1.1，與log2≈0.3010矛盾，故選項（4）錯誤;

對于選項（5），因為2logb=loga+logc=4.4，所以有b2=ac，所以a，b，c成等比數列，故選項（5）正確.

點評 本題以對數函數為載體，考查了對數函數、指數函數和等比數列的有關知識.解決問題的過程中，換底公式是關鍵，特別是第（3）小問，需要利用的知識較為綜合，在試卷末的“參考公式及可能用到的數值”中給出了“log2≈0.3010”，在解題的過程中需要用到.當然，如果考生能夠記住該數值則更好.特別要注意的是，選項（1）（4）不能輕易否定，需要推理論證.

試題12 下表示2011年至2018年某國總就業人口與農業就業人口的部分相關數據，各年度的人口以人數計，有些是以千人計，有些以萬人計，例如 2011年總就業人口為1070.9萬人，65歲以上男性農業就業人口為69.1千人.試根據表格資料選出正確的選項.

（1）從2013年至2018年，65歲以上的男性農業就業人口逐年遞增;

（2）從2013年至2018年，50歲至64歲之男性農業就業人口逐年遞增;

（3）上表中，每一年的男性農業就業人口占總就業人口的比率都小于百分之五;

（4）上表中，每一年50歲至64歲之男性農業就業人口都少于49歲以下之男性農業就業人口;

（5）就65歲以上至男性農業就業人口而言，2018年比2011年增加了不到一萬人.

解析 對于選項（1），從表格的最右一列可以看出，從2013年至2018年，65歲以上的男性農業就業人口逐年遞增，故選項（1）正確;

對于選項（2），觀察表格的第7列可知，2016年50歲至64歲男性農業就業人口為176.4萬，而2015年為181.3萬，2016年相當于2015年的男性農業就業人口減少了，故選項（2）錯誤;

對于選項（3），觀察表格第2、4列可以發現，將每年第4列對應的數據分別除以第2列對應的數據發現，比值均小于百分之五，故選項（3）正確;

對于選項（4），觀察表格發現，每年的第5、6列的數據之和均大于第7列對應的數據，也即是說每一年50歲至64歲之男性農業就業人口都大于49歲以下之男性農業就業人口，故選項（4）錯誤;

對于選項（5），65歲以上的男性農業人口，2018年為79.4千人，2011年為69.1千人，所以2018年比2011年增加了79.4-69.1=10.3（千人），即增加的人數超過了一萬人，故選項（5）錯誤.

點評 本題主要考查了考生的讀圖、識表的能力，此題題干看上去文字很多，表格的數據也很多，但并不復雜. 實際上，認真閱讀選項，根據選項從表格中尋找有用的信息（數據），稍加推理和估算即可得出正確答案.

試題13 如圖4所示，四面體OABC中，△OAB和△OAC均為正三角形，∠BOC=30°.試選出正確的選項.

（1）BC>OC;

（2）△OBC是等腰三角形;

（3）△OBC的面積大于△OAB的面積;

（4）∠CAB=30°;

（5）平面OAB與平面OAC的夾角（以銳角計）小于30°.

解析 不妨設兩個正△OAB，△OAC的邊長為a，顯然有△OBC為等腰三角形，其中頂角∠BOC=30°，兩底角∠OBC=∠OCB=180°-30°2=75°，所以有BC

對于選項（2），△OBC為等腰三角形，故選項（2）正確;

對于選項（3），△OBC和△OAB共一條邊OB，△OAB的邊OB邊上高的長為h1=a·sin60°=32a，而△OBC的OB邊上高的長為h2=a·sin30°=a2，因為h1>h2，S△OBC=12ah1，S△OAB=12ah2，所以S△OBC

對于選項（4），由已知條件容易判斷△COB和△CAB全等，根據全等三角形的對應角相等，所以∠CAB=∠COB=30°，故選項（4）正確;

對于選項（5），過點B，C分別作OA的垂線，兩個垂足分別為D，F，實為同一點（可以證明），不妨設為點D，所以平面OAB與平面OAC的夾角為∠BDC.

在三角形OCB中，由余弦定理可得BC2=a2+a2-2a·acos30°=2a21-32.

在三角形CDB中，有BC2=CD2+BD2-2CD·BDcos∠CDB，

又因為BD=CD=32a，所以2a21-32=232a2-232a2cos∠CDB，

解得cos∠CDB=23-13.因為cos∠CDB=23-13<32，且∠CDB<90°，所以∠CDB>30°，即平面OAB與平面OAC的夾角大于30°，故選項（5）錯誤.

點評 本題是一道立體幾何題，考查了平面幾何中的有關長度、面積、全等、等腰三角形，二面角的平面角等知識，5個選項分別從不同的方面考查考生解決問題的能力，較為綜合.

3 試題特色

2020年臺灣地區學測考試（數學）的選填題（解答題）也很有特色，限于篇幅，本文不再贅述.選擇題的試題特色已在點評中敘述，從13道選擇題可以看出，2020年臺灣地區學測考試總體的主要特色如下：

1.注重對基礎知識和核心能力的考查.重點考查的內容有函數（三角函數、冪指對函數、多項式函數），向量（平面向量和空間向量），概率統計，矩陣，平面解析幾何和空間立體幾何、圓錐曲線等等.考查考生分析問題和解決問題的能力，以及對基本概念及其本質的掌握、理解和運用的能力，閱讀理解（讀圖識表）的能力，邏輯推理、運算求解和估算的能力等等.特別重視閱讀理解（如試題8和試題12）能力和數學思想的考查，比如分類討論的思想、數形結合的思想等等.

2.在知識的交匯處命題.大部分試題均不止考查一個知識點，而是對多個知識點進行交匯考查，將不同內容的知識聯系起來.如試題6綜合考查了概率和對數函數內容，試題7綜合考查了冪函數和三角函數內容，試題11綜合考查了對數函數和等比數列內容等等.