一個切線不等式的應用

曲線y=lnx（x>0）在點（1，0）處的切線方程是：y=x-1，由曲線與切線的相對位置（如下圖），得到一個不等式：

lnx≤x-1，當且僅當x=1時 “=”成立，為了方便記憶和應用，把它稱為“切線不等式”.這樣一個看似不起眼的結論，卻成為了數學學習中不等式試題的生長點.本文先對這個不等式進行證明，然后就它的變式應用做些分析，旨在誘發新的解題線索，提供高效而實用的解題方案.

由上面的例題可知，切線不等式“lnx≤x-1（x>0）”及其變式在數學中的應用是廣泛而重要的，靈活地運用這些結論對快速高效地解決一些難以入手、且常規方法不能解決的不等式試題意義深遠.另外，通過分析這些試題，我們也可以得到一個結論：看似紛繁蕪雜的試題中其實蘊含著某些規律，只要勤于思考，就會使很多復雜的不等式問題可以采用統一的證明方法.遵循本文給出的解題線索，你一定能擁有針對性極強的解題意識，快速占領“制高點”，求得這類問題的答案.

作者簡介

張彩霞（1969—），女，甘肅高臺人，西北師范大學數學教育專業畢業，本科學歷，中學數學高級教師，在國家、省級正規CN刊物上發表教育教學論文20多篇，并在論文評比、教學比賽和指導學習競賽方面多次獲獎.