巧構(gòu)中線(xiàn)妙解幾何題

王保華

摘要：三角形是初中數(shù)學(xué)里最基本的幾何圖形，中線(xiàn)是三角形中重要的線(xiàn)段之一。在與中線(xiàn)有關(guān)的題構(gòu)思巧妙，具有探索性，其目的在于考查學(xué)生的想象能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性，值得關(guān)注。

關(guān)鍵詞：中線(xiàn)? ?倍長(zhǎng)中線(xiàn)

解法幾何題中有關(guān)三角形中線(xiàn)問(wèn)題構(gòu)思巧妙，解法多樣且靈活，技巧性強(qiáng)，具有探索性。本文結(jié)合實(shí)例就中線(xiàn)常見(jiàn)的輔助線(xiàn)歸納，試探索不同的三角形中線(xiàn)有關(guān)幾何圖形的解法，介紹一些常用方法和技巧。

一、三角形中線(xiàn)把原三角形分成兩個(gè)面積相等的小三角形

例1：如圖1，在△ABC中，已知點(diǎn)D、E、F分別為邊BC、AD、CE 的中點(diǎn)，且△ABC的面積是32，則圖中陰影部分面積等于________________

解：∵點(diǎn)D、E、F分別為邊BC，AD，CE的中點(diǎn)，∴S△ABD= 12S△ABC、S△BDE= 12S△ABD、S△CDE= 12S△ADC、S△BEF= 12S△BEC，∴S△BEF= 14S△ABC;∵△ABC的面積是32，∴S△BEF=8。

評(píng)注：本題主要考查了三角形面積問(wèn)題，首先應(yīng)該聯(lián)想到角形的中線(xiàn)把原三角形分成兩個(gè)面積相等的小三角形（等底同高），然后通過(guò)探索，找準(zhǔn)中點(diǎn)，連好中線(xiàn)，解決問(wèn)題。

2、有三角形中線(xiàn)時(shí)，常延長(zhǎng)加倍中線(xiàn) （倍長(zhǎng)中線(xiàn)法）

“倍長(zhǎng)中線(xiàn)”是指加倍延長(zhǎng)中線(xiàn)，使所延長(zhǎng)部分與中線(xiàn)相等，然后連接相應(yīng)的頂點(diǎn)，由對(duì)應(yīng)角對(duì)應(yīng)邊都對(duì)應(yīng)相等，構(gòu)造全等三角形，直接或間接用“倍長(zhǎng)中線(xiàn)法”構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系。

例2.如圖2，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分線(xiàn)，AD又是BC邊上的中線(xiàn)。求證：ΔABC是等腰三角形。

證明：延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，連接BE在ΔACD和ΔEBD中AD=ED∠ADC=∠EDBCD=BD∴ΔBED≌ΔCAD，∴ EB=AC，∠E=∠2，又∠1=∠2，∴∠1=∠E，∴AB=EB，從而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形。評(píng)注：此題容易進(jìn)入誤區(qū)，用“邊邊角”這一錯(cuò)誤的判定來(lái)證明。如果出現(xiàn)了三角形的中線(xiàn)，常延長(zhǎng)加倍此線(xiàn)段，再將端點(diǎn)連結(jié)，把所要證的線(xiàn)段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中，構(gòu)造全等三角形，使題中分散的條件集中，進(jìn)而解決問(wèn)題。

三、直角三角形斜邊中線(xiàn)的性質(zhì)

例3.如圖3，已知梯形ABCD中，AB//DC，AC⊥BC，AD⊥BD，求證：AC=BD。

證明：取AB的中點(diǎn)E，連結(jié)DE、CE，則DE、CE分別為RtΔABD，RtΔABC斜邊AB上的中線(xiàn)， ∴DE=CE=? AB∵∠CDE=∠DCE。∵AB//DC，∴∠CDE=∠1，∠DCE=∠2，∴∠1=∠2，在ΔADE和ΔBCE中，? ?DE=CE∠1=∠2AE=BE∴ΔADE≌ΔBCE，∴ AD=BC，從而梯形ABCD是等腰梯形，∴AC=BD。

評(píng)注：此題易忽略“直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半”這一重要性質(zhì)，這兩條中線(xiàn)構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，考查了學(xué)生對(duì)知識(shí)的應(yīng)用和遷移能力，具有很強(qiáng)的靈活性。

三角形的中線(xiàn)在中考幾何題中具有活力，巧妙利用中線(xiàn)一些基本圖形的數(shù)學(xué)模型及其結(jié)論，是解決三角形中點(diǎn)問(wèn)題的一個(gè)著力點(diǎn)。培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用變化的眼光去觀察圖形，抓住問(wèn)題本質(zhì)，深入分析，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決。

參考文獻(xiàn)：

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