關(guān)于機(jī)械橫波反射與折射的演示實(shí)驗(yàn)

路峻嶺 顧 晨 秦聯(lián)華 任乃敬 馬泊一

(清華大學(xué)物理系，北京 100084)

1 筷波儀簡(jiǎn)介

圖1 筷波儀照片圖

圖2 筷波儀振子鏈的示意簡(jiǎn)圖

筷波儀的照片如圖1所示，它由用以演示機(jī)械橫波的振子鏈、激勵(lì)電機(jī)(上游源頭)、阻尼器(下游尾端)和激勵(lì)電源、止動(dòng)電源等幾部分組成[1]。振子鏈由一串可繞一根水平細(xì)軸轉(zhuǎn)動(dòng)且相互彈性連接的振子串組成，示意圖如圖2所示。每一個(gè)振子都可以繞水平細(xì)軸作微幅轉(zhuǎn)動(dòng)振動(dòng)，振子鏈上可以產(chǎn)生以振子轉(zhuǎn)動(dòng)角度為參量的機(jī)械波。從儀器的側(cè)面觀察，振子的端部則表現(xiàn)為橫波波動(dòng)。由于每一個(gè)振子都像一根筷子，所以這種儀器又稱為筷波儀。開啟激勵(lì)電源，上游源頭(x=0)開始振動(dòng)，由于振子之間的彈性連接，于是在振子鏈上出現(xiàn)波動(dòng)。如果調(diào)節(jié)阻尼器使下游尾端(x=L)的阻尼適當(dāng)，波動(dòng)傳播過(guò)來(lái)的能量被完全吸收，則振子鏈上的波就是行波。如果除去阻尼器使下游尾端固定或自由，則在振子鏈上將出現(xiàn)駐波。如果想瞬時(shí)固定住波列波形，就開啟止動(dòng)電源，此刻波列就會(huì)被突然凍住。不過(guò)，這一操作只能在幾秒內(nèi)結(jié)束，否則容易損壞儀器。本文所涉及的實(shí)驗(yàn)是改變部分區(qū)段(如下游區(qū)段)振子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，以使振子鏈的波阻抗發(fā)生改變，演示波阻抗改變對(duì)機(jī)械波傳播的影響。

2 筷波儀振子鏈上的機(jī)械波

筷波儀振子鏈的結(jié)構(gòu)如圖2所示，設(shè)諸振子結(jié)構(gòu)均勻一致，振子端部小圓柱體的質(zhì)量皆為m，其質(zhì)心離水平細(xì)軸的距離皆為l，相鄰振子之間的距離為a，則每一個(gè)振子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量約為2ml2，沿軸向單位長(zhǎng)度上振子鏈的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量即轉(zhuǎn)動(dòng)慣量密度2ml2/a，設(shè)振子鏈的總長(zhǎng)度為L(zhǎng)。沿水平軸方向建立x軸，如圖2所示。

2.1 筷波儀上振子鏈的波動(dòng)方程及其解[2-3]

設(shè)筷波儀振子鏈在自然狀態(tài)(不受任何外力)時(shí)，處于水平位置，操作者撥動(dòng)最右端(x=L)的振子，施加力矩M使它偏離水平位置的角度(扭轉(zhuǎn)角)為θ，并設(shè)振子鏈的力矩彈性系數(shù)為K，則根據(jù)胡克定律，有

M=-Kθ

(1)

這是在振子鏈均勻扭轉(zhuǎn)形變的情況下，得到的力矩-形變的關(guān)系式。若振子鏈中有波存在，整個(gè)振子鏈就不會(huì)處處形變均勻了。現(xiàn)在考察振子鏈中某一點(diǎn)兩側(cè)振子鏈元段之間的相互作用力矩。上例表示整個(gè)振子鏈在力矩M的作用下扭轉(zhuǎn)角為θ，整個(gè)振子鏈扭轉(zhuǎn)應(yīng)變?yōu)棣?L。由于振子鏈均勻，扭轉(zhuǎn)應(yīng)變處處相同，而且振子鏈中任意一點(diǎn)兩側(cè)元段之間的相互作用力矩均為M，因此有

(2)

圖3 振子鏈元段的應(yīng)變與力矩

振子鏈元段Δx上的所受合力矩為

由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律,得

即

(3)

(4)

其中A為振幅，ω為波的圓頻率，c為波速，k為波數(shù)，波數(shù)k前面的符號(hào)±表示波的傳播方向，正號(hào)表示往負(fù)x方向傳播的行波，負(fù)號(hào)表示往正x方向傳播的行波。一般來(lái)說(shuō)，波動(dòng)方程在具體條件下的解是這兩種行波的線性疊加。易證明上述波動(dòng)函數(shù)θ(x,t)確實(shí)是波動(dòng)方程的解，但ω與k這兩個(gè)參數(shù)并不獨(dú)立，它們必須滿足下列方程式：

(5)

在具體問(wèn)題中，例如振子鏈兩端固定，這些物理邊界條件必然限定了k不能任意取值，只能取一些分立值，由此定出頻率ω也是分立的，這些我們?cè)谌嵯艺駝?dòng)實(shí)驗(yàn)中已經(jīng)知道了。

2.2 筷波儀上機(jī)械波的波阻抗

日常生活中人們有一個(gè)直覺(jué)，就是騎自行車遇到逆風(fēng)或爬坡時(shí)，盡管可以慢登，但依然覺(jué)得很吃力。如果自行車裝上了加快軸(齒輪變速裝置)，換一個(gè)擋，加快登車的速度，即使功率不變，也會(huì)覺(jué)得輕松得多。又例如游泳時(shí)，由于人的手掌腳掌面積不夠大，盡管很快劃水，但總覺(jué)得使不上力，若在腳上穿上蛙蹼，用力大一點(diǎn)，即使劃慢一點(diǎn)也能得到同樣的功率，游得很快，人會(huì)覺(jué)得很自在。這里涉及一個(gè)概念，就是阻抗匹配問(wèn)題[2]。

力學(xué)中的功W=f·s;W=M·θ；

=f·(恒力時(shí))；

電學(xué)中的功率p=VI。

θ0(x,t)=Acos(ωt-kx)

(6)

在振子鏈上選一點(diǎn)x，我們計(jì)算x點(diǎn)負(fù)側(cè)(上游側(cè))對(duì)正側(cè)(下游側(cè))的作用力矩，以及x點(diǎn)處振子振動(dòng)的角速度。

(7)

定義波阻抗Zc為力矩除以角速度。則有

(8)

若振子鏈中存在負(fù)向行波θ1(x,t)=Acos(ωt+kx)，x點(diǎn)正側(cè)(上游側(cè))對(duì)負(fù)側(cè)(下游側(cè))的作用力矩和角速度為

圖4 兩種阻抗的振子鏈

(9)

可見(jiàn)波阻抗只與載波介質(zhì)的物理特性有關(guān)，而與波的傳播方向、波的頻率、波的波數(shù)等波動(dòng)參量無(wú)關(guān)。若載波介質(zhì)在某一點(diǎn)上的物理特性有突變，即波阻抗有突變，對(duì)波的傳播有何影響呢？

2.3 筷波儀振子鏈上的機(jī)械波在阻抗突變點(diǎn)的反射與折射

設(shè)入射波為θ0(x,t)=Acos(ωt-kx)(-L/2≤x≤0);反射波為θ1(x,t)=RAcos(ωt+kx)(-L/2≤x≤0);折射波為θ2(x,t)=TAcos(ωt-k′x)(0≤x≤L/2)，其中R為振幅反射率，T為振幅折射率。在上游區(qū)段(x≤0區(qū)段)，振子鏈中存在著兩個(gè)波,即θ上(x,t)=θ0(x,t)+θ1(x,t)。在下游區(qū)段(x≥0區(qū)段)，振子鏈中存在著一個(gè)波(不考慮尾端的反射),即θ下(x,t)=θ2(x,t)。

x=0點(diǎn)為兩種阻抗區(qū)段的邊界點(diǎn)，邊界條件是：兩邊介質(zhì)在邊界點(diǎn)的相互作用的力矩大小相等方向相反;兩邊介質(zhì)振動(dòng)在邊界點(diǎn)的角位移相等。其數(shù)學(xué)表達(dá)式(邊界條件方程)如下。

(10)

具體到本問(wèn)題, 邊界條件方程即:

根據(jù)邊界條件方程(11)，兩邊介質(zhì)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)在邊界點(diǎn)的角位移相等,即

θ上(0,t)=θ0(0,t)+θ1(0,t)=θ下(0,t)=θ2(0,t)

即

即

Acosωt+RAcosωt=TAcosωt

(13)

由此解出

T=1+R

(14)

由式(13)亦可知，兩種阻抗的區(qū)段的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)在邊界點(diǎn)不僅角位移相等，角速度也相等。為了計(jì)算波阻抗，只要用式(12)的兩邊之一除以角速度即可。不過(guò)用左邊和用右邊除以角速度計(jì)算波阻抗的物理意義不同。若用式(12)的右邊除以角速度得到波阻抗,就是通過(guò)一列行波計(jì)算振子鏈波阻抗的過(guò)程,也就是類似式(7)、式(8)的計(jì)算過(guò)程。這如同電學(xué)中,由負(fù)載電阻兩端的電壓和通過(guò)負(fù)載電阻上的電流來(lái)計(jì)算負(fù)載電阻的值。若用式(12)的左邊除以角速度得到波阻抗,就如同用電池的輸出電壓除以輸出電流來(lái)計(jì)算負(fù)載電阻的電阻值。后者的優(yōu)點(diǎn)在于它能夠幫助把負(fù)載阻抗ZL、振幅反射率R和振幅折射率T都聯(lián)系起來(lái)。以下按這種方法進(jìn)行計(jì)算。

(15)

所以，負(fù)載阻抗

(16)

即

(17)

由此可見(jiàn)，振幅反射率R與負(fù)載阻抗ZL和源段阻抗Zc有關(guān)。把式(17)代入式(14)可以得到振幅折射率T。

即

(18)

這樣，我們就通過(guò)源段波阻抗Zc、負(fù)載阻抗ZL把振幅反射率R，振幅折射率T都表達(dá)出來(lái)了。由式(17)式(18)，我們可以看出: 振幅折射率T總是大于零的，表示在阻抗邊界點(diǎn)，折射波的相位與入射波的總是相等的；而振幅反射率R卻不同，它可正可負(fù)。在低阻抗邊界(ZLZc)反射時(shí)，R小于零，表示反射波的振幅即有符號(hào)的變化，正號(hào)變?yōu)樨?fù)號(hào)，相當(dāng)于相位有180度的變化，如同波列突然減少了半個(gè)波長(zhǎng)一樣，稱為半波損失。

2.4 筷波儀振子鏈上的機(jī)械波在阻抗突變點(diǎn)的反射波與折射波的能量分析

我們知道，根據(jù)能量守恒定律，入射波的能流密度應(yīng)該等于反射波的能流密度與折射波的能流密度之和。首先我們先要看一個(gè)行波的能流密度如何表示[4]。

由此可得

(19)

這就是通過(guò)波阻抗、振幅反射率和振幅折射率表示的能量守恒定律。

由式(17)(18)

進(jìn)而反射波與入射波的能流密度之比σ反

(20)

折射波與入射波的能流密度之比σ折

(21)

圖5 R、T、σ反及σ折與阻抗之間的關(guān)系圖

由圖5可見(jiàn)，反射波的能流不會(huì)大于入射波的能流，只有在ZL=0，即邊界為自由端、或ZL=∞即邊界固定時(shí)才為1；其它情況下能流的反射系數(shù)均小于1。由于反射波能流與折射波能流二者之和總是等于1，兩者各自所占比率亦如上圖所示。振子鏈上波的特點(diǎn)是：在接近阻抗匹配時(shí)以折射波為主。在遠(yuǎn)離阻抗匹配時(shí)以反射波為主。

3 筷波儀振子鏈上的機(jī)械波在阻抗突變點(diǎn)的反射與折射演示實(shí)驗(yàn)

本實(shí)驗(yàn)欲演示振子鏈上機(jī)械橫波在阻抗突變點(diǎn)x=0處的反射與折射(參見(jiàn)圖4)。為了觀測(cè)方便，我們?cè)谙掠?折射區(qū)段)尾部設(shè)置阻尼器,調(diào)整阻尼使下游折射區(qū)段波動(dòng)傳輸來(lái)的能量剛剛能被完全吸收。這樣,在下游折射區(qū)段(x≥0)就只有一列正向行波; 而在上游區(qū)段(x≤0)就有兩列行波: 入射正向行波和反射負(fù)向行波。本實(shí)驗(yàn)就是通過(guò)觀察這三列行波組合的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象來(lái)了解機(jī)械波在阻抗突變點(diǎn)的反射與折射的。

設(shè)入射波為θ0(x,t)=Acos(ωt-kx)，反射波為θ1(x,t)=RAcos(ωt+kx)，折射波為θ2(x,t)=TAcos(ωt-k′x)，則在上游區(qū)段(x≤0區(qū)段)，其波列是兩個(gè)行波的疊加,即θ上(x,t)=θ0(x,t)+θ1(x,t)；在下游區(qū)段(x≥0區(qū)段)，其波列是折射行波,即θ下(x,t)=θ2(x,t)。以下將按照高阻抗反射(ZL>Zc)和低阻抗反射(ZL

在高阻抗反射(ZL>Zc)時(shí)，由圖5可知：-1

式(23)的推導(dǎo)中用到式(14)T=1+R=1-R′。可見(jiàn)，高阻抗反射時(shí)，在上游區(qū)段(x≤0區(qū)段)，入射波與反射波的疊加等效為一列駐波和一列行波的疊加。駐波的波節(jié)在波阻抗突變點(diǎn)x=0點(diǎn)；駐波波腹的振幅與振幅反射率的絕對(duì)值R′成正比；行波的振幅與折射行波的振幅相等；行波在阻抗突變點(diǎn)x=0點(diǎn)的位相與折射行波在阻抗突變點(diǎn)x=0點(diǎn)的位相完全相等并同步。在構(gòu)成駐波的各振子作簡(jiǎn)諧振動(dòng)都回到平衡位置的時(shí)刻，振子鏈上機(jī)械橫波將表現(xiàn)為像是一列在阻抗突變點(diǎn)x=0處波數(shù)突變的行波。

在低阻抗反射(ZL

式(25)的推導(dǎo)中用到(14)式T=1+R。可見(jiàn)，低阻抗反射時(shí)，在上游區(qū)段(x≤0區(qū)段)，入射波與反射波的疊加等效為一列駐波和一列行波的疊加。駐波的波腹在波阻抗突變點(diǎn)x=0點(diǎn)；駐波波腹的振幅與振幅反射率R成正比；行波與駐波波腹的振幅之和與折射行波的振幅相等；行波在阻抗突變點(diǎn)x=0點(diǎn)的位相與折射行波在阻抗突變點(diǎn)x=0點(diǎn)的位相完全相等并同步。由于駐波在振子鏈上的位置是固定不變的，而行波的波峰是向x正方向運(yùn)動(dòng)的，在構(gòu)成駐波的各振子作簡(jiǎn)諧振動(dòng)都達(dá)到其振幅位置(偏離平衡位置最大)的時(shí)刻，振子鏈上機(jī)械橫波將表現(xiàn)為像是一列振幅為入射波與反射波振幅之和且在阻抗突變點(diǎn)x=0處波數(shù)突變的行波。

由于增加振子鏈上振子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量較容易操作，我們只做了高阻抗反射(ZL>Zc)實(shí)驗(yàn)，就是只把下游區(qū)段(x≥0區(qū)段)每個(gè)振子端部的小圓柱體都增加了相同的質(zhì)量。從實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象看，將看到入射波的振幅經(jīng)過(guò)阻抗突變點(diǎn)時(shí)一分為二，一部分為反射波的振幅，另一部分為折射波的振幅。這樣，我們可以設(shè)想，把一束入射波分解為同步的兩束波，一束振幅的大小等于反射波的振幅(甲波)，另一束的振幅等于折射波的振幅(乙波)。甲波與反射波的振幅相等，傳播方向相反，兩者的疊加形成駐波，阻抗突變點(diǎn)即為波節(jié)；乙波與折射波的振幅相等，傳播方向相同，在阻抗突變點(diǎn)乙波突然變?yōu)橄辔幌嗟鹊〝?shù)不同的折射波,如圖6所示。

如果我們精確調(diào)節(jié)振子鏈尾端的阻尼器使阻尼適當(dāng)，使折射波的能量被完全吸收，則振子鏈上高阻抗段的波就只有折射波行波。而低阻抗段的波則是振幅等于折射波的一列行波和一個(gè)振幅等于2倍反射波振幅的駐波的疊加。在駐波上各點(diǎn)都到達(dá)平衡位置的時(shí)刻，我們就可以看到像是上游低阻抗段的一列行波經(jīng)過(guò)阻抗突變點(diǎn)突然變?yōu)榉认嗤ㄩL(zhǎng)不同的另一列行波。這一現(xiàn)象可以在筷波儀上觀察，這就是振子鏈上機(jī)械波在阻抗突變點(diǎn)反射與折射時(shí)有趣的物理圖像，如圖7照片所示。

4 小結(jié)

本文對(duì)筷波儀振子鏈上的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)波的傳輸過(guò)程進(jìn)行了分析，得到了機(jī)械波振幅反射率、振幅折射率、反射波及折射波能流密度隨波阻抗變化的關(guān)系式。在此基礎(chǔ)上，詳細(xì)分析了在高阻抗和低阻抗反射時(shí)此扭轉(zhuǎn)振動(dòng)波的反射和折射的規(guī)律。特別是在高阻抗反射條件下，上游低阻抗區(qū)段反射波和入射波的疊加等價(jià)于一列駐波和一列

圖6 振子鏈上的波在高阻抗界面上的反射與折射

圖7 振子鏈上的波在高阻抗界面上的反射與折射波形照片

正向行波的疊加，在駐波諸振子作簡(jiǎn)諧振動(dòng)通過(guò)平衡位置的時(shí)刻，低阻抗區(qū)段正向行波像是在波阻抗突變點(diǎn)突然改變了它的波數(shù)而變成了等振幅折射行波。這一結(jié)果也通過(guò)實(shí)驗(yàn)演示了出來(lái)。