小議一道數(shù)學(xué)題中蘊(yùn)含的多種數(shù)學(xué)思想方法

張彥榮

摘 要文章通過(guò)對(duì)一道簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)題的五種解法中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行詳細(xì)闡述后指出，在中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師必須重視和加強(qiáng)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的滲透與培養(yǎng)，使得學(xué)生更加深刻地領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)所包含的思想方法以及由此形成的數(shù)學(xué)知識(shí)體系，切實(shí)加強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新和實(shí)踐能力。

關(guān)鍵詞數(shù)學(xué)思想方法;滲透;重要性

中圖分類(lèi)號(hào)：O552.2 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2020）10-0163-01

數(shù)學(xué)思想方法，就是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的觀點(diǎn)和方法，這是數(shù)學(xué)的靈魂。數(shù)學(xué)思想是人類(lèi)思想文化寶庫(kù)中的瑰寶，是數(shù)學(xué)的精髓，它對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)具有絕對(duì)性的指導(dǎo)意義。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要結(jié)合實(shí)例挖掘、揭露其思想方法，加深學(xué)生對(duì)思想方法的理解和認(rèn)識(shí)，使其領(lǐng)悟思想方法實(shí)質(zhì)，不斷提高解題能力和糾錯(cuò)能力。

例：已知有103個(gè)蘋(píng)果，分別用大小不同的兩種箱子裝，大箱裝12個(gè)，小箱裝5個(gè)，要?jiǎng)偤醚b完，問(wèn)各需大箱和小箱多少個(gè)？

解法一﹑（統(tǒng)計(jì)思想）不妨拿103個(gè)蘋(píng)果模型和足夠多的大小箱子，對(duì)103蘋(píng)果模型進(jìn)行裝箱，在通過(guò)此法把103個(gè)蘋(píng)果模型進(jìn)行大小箱裝配時(shí)，統(tǒng)計(jì)每次裝配的過(guò)程和相關(guān)數(shù)據(jù)，看是否存在一種配置結(jié)果使得103個(gè)蘋(píng)果模型恰好裝完時(shí)所裝大小箱也恰好裝滿(mǎn)，即所謂的最優(yōu)配置，從而得到結(jié)果。

解法二、（化歸思想）對(duì)于5，12這兩個(gè)數(shù)，不妨先算出5，12兩數(shù)之積（也就是5和12的最小公倍數(shù)）與之和。

5 12=60，5+12=17。

再觀察60，17，103這三個(gè)數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)60+60-17=103，即（5×12）+（12×5）-（5+12）=103。

因此，我們可以這樣解釋這道題：⑴先另外從別處借來(lái)17個(gè)蘋(píng)果，這時(shí)總共有蘋(píng)果120個(gè);⑵再對(duì)120個(gè)蘋(píng)果進(jìn)行裝箱，很容易知道需大箱5個(gè)，小箱12個(gè)時(shí)，120個(gè)蘋(píng)果恰好裝完;⑶最后把借來(lái)的17個(gè)蘋(píng)果再還回去。借來(lái)的17個(gè)蘋(píng)果恰好能裝一大箱和一小箱，所以，歸還的時(shí)候只需拿走大小箱各一個(gè)，即5-1=4（箱），12-1=11（箱）。

此種解法真可謂“有‘借有‘還，再‘解不難”。

解法三、（轉(zhuǎn)化思想）不妨設(shè)需大箱 個(gè)，小箱 個(gè)時(shí)，103個(gè)蘋(píng)果恰好裝完，則可得 。其中對(duì)于數(shù) ?來(lái)說(shuō)，其個(gè)位數(shù)為5和0，對(duì)于數(shù) ?來(lái)說(shuō)，其個(gè)位數(shù)為0、2、4、6、8，數(shù)103個(gè)位數(shù)是3，而8+5=13，數(shù)13個(gè)位數(shù)也恰好是3。所以對(duì)于 只能取奇數(shù)（如1，3，5，7，9，……），對(duì)于 只能取個(gè)位為4的正整數(shù)（如4，14，24，……），然而又要求 ， （ ），所以 只能取4，進(jìn)而得 。

解法四、（方程思想）定義[1]形如 的方程叫做二元一次不定方程。

一般地，方程的個(gè)數(shù)少于未知元個(gè)數(shù)的方程叫做不定方程。

求二元一次不定方程整數(shù)解的方法較多，這里只介紹一種常用的方法（逐步取整法，就是通過(guò)逐步縮小未知系數(shù)的絕對(duì)值來(lái)求出方程的整數(shù)解），以本題所列方程為例（ ）。求方程 的正整數(shù)解。

解法五、（函數(shù)思想）對(duì)于解法四中的方程 ，可將其轉(zhuǎn)化為 ，很明顯這是一個(gè)一次函數(shù)，那么就能畫(huà)出這個(gè)函數(shù)的圖像。根據(jù)題意及函數(shù)的相關(guān)知識(shí)可知如果能在函數(shù)圖像上找到滿(mǎn)足一定條件的點(diǎn)（ ， ），問(wèn)題就解決了。而對(duì)于點(diǎn)（ ， ）必須滿(mǎn)足縱橫坐標(biāo)都是正整數(shù)（即 ），所以就要描出平面直角坐標(biāo)系中第一象限中的格點(diǎn)（所謂格點(diǎn)就是平面直角坐標(biāo)系中橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)，又稱(chēng)整點(diǎn)。）再觀察哪些格點(diǎn)在函數(shù)圖像上。根據(jù)以上描述，畫(huà)出圖形，這樣便能很直觀地從圖形中得到答案。

從以上的五種解法中可以看出，一道簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)題中蘊(yùn)含了統(tǒng)計(jì)思想，化歸思想，轉(zhuǎn)化思想，方程思想，函數(shù)思想。這是一道培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的好題，在講解時(shí)一方面要通過(guò)解題和反思活動(dòng)，從具體數(shù)學(xué)問(wèn)題和例題中總結(jié)歸納解題方法，并提煉和抽象成數(shù)學(xué)思想;另一方面在解題過(guò)程中，要充分發(fā)揮數(shù)學(xué)思想方法對(duì)發(fā)現(xiàn)解題途徑的定向、聯(lián)想和轉(zhuǎn)化功能，舉一反三，觸類(lèi)旁通，以數(shù)學(xué)思想觀點(diǎn)為指導(dǎo)，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法分析問(wèn)題、解決問(wèn)題。

總而言之，數(shù)學(xué)思想方法是人類(lèi)智慧的結(jié)晶，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思想方法能夠使我們更加深刻地領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)的美，從而更加自由地在數(shù)學(xué)王國(guó)中揚(yáng)帆前行。然而在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生雖然做題不計(jì)其數(shù)，教師對(duì)學(xué)生的訓(xùn)練也非常到位，可是在總結(jié)數(shù)學(xué)思想方法這一塊還是有所欠缺，課堂上經(jīng)常使用的是精講多練的方法，殊不知忽略了數(shù)學(xué)思想方法的滲透，從而導(dǎo)致學(xué)生有的時(shí)候只知其然而不知其所以然。因此，在中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師除了基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的教學(xué)外，還應(yīng)重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透，注重對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)，這對(duì)學(xué)生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用將產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響。

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