擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)模型中Erlang(2)間隔隨機(jī)觀察邊界分紅問(wèn)題

王 偉，王秀蓮

(天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 300387)

在精算風(fēng)險(xiǎn)理論中，保險(xiǎn)公司的盈余常用隨機(jī)過(guò)程來(lái)描述.本文考慮如下擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)模型，盈余過(guò)程U(t)滿(mǎn)足

U(t)=u+μt+σW(t)，t≥0，

(1)

其中，u≥0是初始資金，μ>0為漂移項(xiàng)，通常代表保費(fèi)率，σ為波動(dòng)率，W(t)是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng).假定文中隨機(jī)過(guò)程都定義在一個(gè)完備的概率空間(Ω，F(xiàn)，{Ft}，P)上．

一個(gè)常見(jiàn)的精算量是破產(chǎn)概率，即盈余值首次變?yōu)樨?fù)值的概率.這一問(wèn)題在該領(lǐng)域已經(jīng)被廣泛研究，如文獻(xiàn)[1-3]等著作中均有較為詳細(xì)的闡述和介紹.為了更實(shí)際的研究保險(xiǎn)模型，De Finetti[4]提出了分紅問(wèn)題，即盈余過(guò)程滿(mǎn)足某些條件時(shí)其值的一部分作為紅利分掉.當(dāng)前，分紅問(wèn)題已經(jīng)變成風(fēng)險(xiǎn)理論的一個(gè)熱點(diǎn)和中心話題，其中[5]和[6]是相關(guān)的綜述性文獻(xiàn).分紅策略有很多種類(lèi)，如邊界分紅策略、門(mén)檻分紅策略和帶狀分紅策略等.本文將研究一類(lèi)隨機(jī)觀察時(shí)間邊界分紅策略，即觀察時(shí)間間隔為隨機(jī)變量，在觀察時(shí)刻若發(fā)現(xiàn)保險(xiǎn)公司盈余超過(guò)某邊界b>0，則超出部分作為紅利分掉，若盈余不超過(guò)b，則不進(jìn)行分紅.目前已有許多論文對(duì)隨機(jī)觀察相關(guān)問(wèn)題展開(kāi)研究[7-14]，其中文獻(xiàn) [7] 研究了復(fù)合泊松風(fēng)險(xiǎn)模型中在隨機(jī)觀察時(shí)間的邊界分紅問(wèn)題，給出了計(jì)算期望折現(xiàn)分紅函數(shù)的幾種方法.最近，文獻(xiàn)[15]里研究了模型(1)在隨機(jī)觀察時(shí)間間隔服從Erlang(2)分布時(shí)的最優(yōu)分紅問(wèn)題，本文將研究該模型相應(yīng)的破產(chǎn)問(wèn)題．

設(shè)分紅邊界為b>0，隨機(jī)觀察時(shí)刻為T(mén)k，k=1，2，…，其時(shí)間間隔Tk-Tk-1服從Erlang(2)分布，其密度函數(shù)為f(t)=γ2te-γt，t>0，其中參數(shù)γ>0.在隨機(jī)觀察時(shí)刻，若盈余超過(guò)b，則超過(guò)部分被作為紅利分掉.紅利的折現(xiàn)因子記為δ.令D(t)表示到t時(shí)刻的累積分紅總量，且其為適應(yīng)的、單調(diào)不減的左連右極過(guò)程.在該分紅策略下，盈余過(guò)程Ub(t)滿(mǎn)足方程

dUb(t)=μdt+σdW(t)-dD(t)，t≥0.

(2)

設(shè)τb=inf {t≥0:Ub(t)=0}為破產(chǎn)時(shí)，即保險(xiǎn)公司的盈余過(guò)程在分紅策略下首次降到零的時(shí)刻.定義函數(shù)

φ(u;b)=E[e-δτbI(τb<∞)U(0)=u]，

其中，I(·)為通常的示性函數(shù).φ(u;b)是著名的Gerber-Shiu函數(shù)的一種特殊情況.為方便計(jì)算，令φ(u，i;b)，i=1，2表示φ(u;b)在到下次分紅時(shí)刻剩余時(shí)間分布服從Erlang(i)時(shí)的值.進(jìn)一步，根據(jù)初值u與b的大小關(guān)系，記

由破產(chǎn)時(shí)的定義知

φL(0，1;b)=φL(0，2;b)=1.

(3)

類(lèi)似文獻(xiàn) [15]，給出如下幾點(diǎn)假設(shè):

1)φ′L(b，1，b)=φ′U(b，1;b)，φ′L(b，2，b)=

φ′U(b，2;b)；

2)φ″L(b，1，b)=φ″U(b，1;b)，φ″L(b，2，b)=

φ″U(b，2;b)．

1 微分方程組

定理1當(dāng)0≤u

(γ+δ)φL(u，2;b)+γφL(u，1;b)=0，

(4)

(γ+δ)φL(u，1;b)+γφL(u，2;b)=0.

(5)

當(dāng)u≥b時(shí)，φU(u，i;b)，i=1，2滿(mǎn)足如下的微分方程組：

(γ+δ)φU(u，2;b)+γφU(u，1;b)=0，

(6)

(γ+δ)φU(u，1;b)+γφU(b，2;b)=0.

(7)

證明當(dāng)0≤u

1) 沒(méi)有進(jìn)行觀察，概率為1-γh+o(h)；

2) 進(jìn)行了一次觀察，概率為γh+o(h).

利用全期望公式得

φL(u，2;b)=(1-γh)e-δh·

φL(u+μh+σW(h)，2;b)+

γhe-δhφL(u+μh+σW(h)，1;b)+o(h)=

(1-γh-δh)φL(u，2;b)+μhφ′L(u，2;b)+

(8)

對(duì)(8)式進(jìn)行整理，得

(γ+δ)hφL(u，2;b)+γhφL(u，1;b)+o(h).

(9)

(9)式兩端同除以h，并令h→0可得(4)式.利用同樣的方法可得(5)式．

當(dāng)u≥b時(shí)，在小時(shí)間段[0，h]內(nèi)考慮φU(u，2;b)，有

φU(u，2;b)=(1-γh)e-δh·

φU(u+μh+σW(h)，2;b)+

γhe-δhφU(u+μh+σW(h)，1;b)+o(h).

(10)

整理(10)式可得方程(6)式．

對(duì)φU(u，1;b)，由于在小時(shí)間段[0，h]內(nèi)盈余超過(guò)了分紅邊界，注意到此時(shí)有觀察即進(jìn)行分紅，故

φU(u，1;b)=(1-γh)e-δh·

φU(u+μh+σW(h)，1;b)+

γhe-δhφU(b，2;b)+o(h).

(11)

利用與之前同樣的方法對(duì)(11)式進(jìn)行整理即得方程(7)式．

2 方程組的顯式解

本節(jié)將利用第1節(jié)定理1所得方程組并結(jié)合假設(shè)條件1)和2)給出φL(u，i;b)與φU(u，i;b)，i=1，2的顯式表達(dá)．

當(dāng)0≤u

即

(12)

方程(12)的根為r0>0，s0<0，r2γ>0，s2γ<0.因此φL(u，2;b)的通解表達(dá)式為

φL(u，2，b)=Aer0u+A1es0u+Ber2γu+B1es2γu.

(13)

將(13)代入(4)，得

Aer0u+A1es0u-Ber2γu-B1es2γu.

(14)

由(3)知φL(0，1，b)=φL(0，2，b)=1，故

即A1=1-A，B1=-B.因此(13)與(14)式變?yōu)?/p>

φL(u，2;b)=Aer0u+(1-A)es0u+Ber2γu-Bes2γu，

(15)

φL(u，1;b)=Aer0u+(1-A)es0u-Ber2γu+Bes2γu，

(16)

當(dāng)u≥b時(shí)，方程(7)的通解為

其中，rγ>0，sγ<0是方程

(17)

對(duì)方程(6)，由文獻(xiàn)[15]知φU(u，2;b)的通解表達(dá)式為

Cesγ(u-b)+Duesγ(u-b).

(18)

下面確定(17)式中未知系數(shù)E2與(18)式中系數(shù)C與D的關(guān)系.由(6)知

(19)

對(duì)(19)左端計(jì)算得

(20)

(21)

(22)

利用關(guān)系式

(22)式可變?yōu)?/p>

(23)

將(20)、(21)和(22)式代入(19)式，得

(24)

利用關(guān)系式(19)，將(24)與(17)比較系數(shù)得

故

(25)

將(14)、(15)、(18)與(25)式代入假設(shè)條件1)、2)可得

(26)

為給出線性方程組(26)的解，令

h0(b)=er0b-es0b，h2γ(b)=er2γb-es2γb，

(27)

(28)

下面將上述所得結(jié)果歸納為如下定理．

定理2在假設(shè)1)、2)下，φU(u，i;b)，i=1，2的表達(dá)式為

φL(u，1;b)=Aer0u+(1-A)es0u-

Ber2γu+Bes2γu，

φL(u，2;b)=Aer0u+(1-A)es0u+

Ber2γu-Bes2γu，

Cesγ(u-b)+Duesγ(u-b),

其中A，B，C，D由(28)給出．

3 結(jié)論

本文研究了一類(lèi)擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)模型在隨機(jī)觀察下的邊界分紅問(wèn)題.其中觀察間隔時(shí)間服從Erlang(2)分布.文中計(jì)算出了相應(yīng)的破產(chǎn)時(shí)的拉普拉斯變換.本文中的研究方法可以推廣到帶跳的風(fēng)險(xiǎn)模型，如復(fù)合泊松風(fēng)險(xiǎn)模型，這是將來(lái)可繼續(xù)研究的工作．