初中數學幾何最值問題探究

丁力

[摘 ?要] 幾何最值問題是初中數學常見的問題類型，涉及眾多知識點，問題形式也較為多變. 該類問題的求解需要把握常見的問題模型，理解問題本質，結合相關知識來合理轉化. 文章對幾何最值問題加以探究，解讀基本模型，探究典型問題，提出相應的學習建議.

[關鍵詞] 幾何;最值;模型;將軍飲馬;線段和

問題背景

從最值問題的特點來看，其類型主要分為幾何與代數兩類，其中幾何最值更為常見，也最具代表性，其中涉及角度、常見的幾何圖形、坐標軸和拋物線等知識內容，重點考查學生“兩點之間線段最短”“垂線段最短”“線段平移”等知識點. 學習時需要掌握常見的問題原型，例如將軍飲馬和選址問題等. 求解的總體思路是利用軸對稱特性來實現線段的由“折”化“直”，從而可以利用幾何定理來確定最值情形.

模型解讀

幾何最值的問題形式較為多變，但其中的基本幾何模型是固定的，模型如下.

模型條件：如圖1所示，點A和B是直線l同側的兩個定點，點P是直線l上的一個動點.

模型問題：分析點P的位置，何時可使PA+PB的值最小.

解題方法 作點A關于直線l的對稱點，設為A′，連接A′B，與直線l的交點就為滿足條件時點P的位置，此時PA+PB=A′P+PB=A′B.

方法解讀 由軸對稱特性可知PA=A′P，從而將問題轉化為求A′P+PB的最小值，其中涉及A′、P和B三點，基于“兩點之間線段最短”原理可知：當A′、P和B三點共線時，A′P+PB取得最小值，從而實現了線段的化“折”為“直”.

問題探究

幾何最值的問題類型有多種，設問形式也不相同，在實際求解時需要結合相應的知識來簡化問題，然后結合幾何基本模型求解，下面將對其中常見的三種最值問題進行探究.

類型一：幾何中的線段和最值

例1 如圖2所示，四邊形ABCD為正方形，△ABE為等邊三角形，點M是對角線BD（不與點B重合）上的一點. 現將線段BM以點B為旋轉中心逆時針轉60°，點B落在了點N處，連接EN、AM和CM，回答下列問題.

（1）求證：△AMB與△ENB全等.

（2）①點M位于何位置時，線段和AM+CM可取得最小值;

②點M位于何位置時，線段和AM+BM+CM可取得最小值，請說明理由.

解析 （1）根據正方形和全等三角形的性質即可獲得全等條件，過程略.

（2）①點M位于對角線BD上，根據“兩點之間，線段最短”可知線段AC與BD的交點為M時就是最小值的情形，此時點M為BD的中點.

②求線段和的最小值，需要采用等線段轉化的方式，連接CE、MN，過點E作CB延長線上的垂線，垂足為點F，如圖3. 由（1）問可知△AMB？艿△ENB，則有AM=EN，∠MBN=60°，MB=NB，所以△BMN為等邊三角形，故BM=MN，則AM+BM+CM=EN+MN+CM. 根據“兩點之間，線段最短”，當點E、N、M和C四點共線時，EN+MN+CM=EC，點M位于EC與BD的交點處，此時距離最短.

評析 上述是關于幾何圖形的線段和最值，涉及三線、四點，但求解的基本思路和原理是一致的，采用軸對稱變換的方式來化“折”為“直”，結合共線原理來確定最值情形. 幾何最值問題實則就是幾何動點問題，求解的過程可以視為化“動”為“靜”，因此需要采用動態的眼光來審視問題，結合幾何定理來嚴謹論證.

類型二：幾何圖形的周長最值

例2 如圖4所示，在四邊形ABCD中，已知∠C=50°，∠B=∠D=90°，點E和F分別位于線段BC和DC上，試分析△AEF的周長取得最小值時∠EAF的度數.

解析 本題目屬于周長最值問題，求∠EAF的度數顯然需要首先確定△AEF周長最小值時的情形. L△AEF=AE+AF+EF，顯然需要參照基本最值模型，通過軸對稱轉化的方式來實現共線，確定最值情形. 過點A作關于BC的對稱點M，以及關于CD的對稱點N，連接MN，設與BC和CD的交點為E和F，此時點M、E、F、N四點共線，AE+AF+EF=EM+NF+EF=MN，△AEF的周長最小. 根據軸對稱特性可知∠M=∠BAE，∠N=∠DAF，在四邊形中∠BAD=130°，在△AMN中有∠M+∠N=50°，所以∠BAE+∠DAF=50°，則∠EAF=130°-50°=80°.

評析 上述是關于幾何周長的最值問題，結合周長公式很容易將其轉化為線段和的最值，其特點在于涉及的線段、關鍵點更多，因此在實際分析時需要多次進行軸對稱變換，但基本原理不變.

類型三：拋物線背景下的線段最值

（1）若拋物線經過點A和B，試求拋物線的解析式.

（3）在（2）的情況下，若沿AC方向任意滑動時，設拋物線與AC的另一交點為Q，取BC中點N，分析NP+BQ是否存在最小值？若存在，請求出該最小值;若不存在，請說明理由.

解析 本題目的第（3）問為拋物線背景下的線段和最小值問題，可以參照將軍飲馬問題的模型，解題的關鍵是確定圖中哪條直線為“河”，一般情況下以角平分線作為河. 作圖過程與基本模型相同，差異點主要集中在求解線段長上，拋物線中可利用點坐標的距離公式來求線段長.

評析 上述是拋物線背景下的線段和最值問題，拋物線是初中數學的重點內容，該內容含有代數與幾何的雙重特性，該背景下的線段和最值問題具有兩大特點：一是計算線段長需要結合點坐標，二是確定模型中的對稱軸需要結合其中的角平分線. 而解題的總體思路是相一致的，通過軸對稱變換來實現線段和的化“折”為“直”.

思考建議

求解幾何最值問題的策略有很多，“將軍飲馬”問題模型是最常用的方法策略，適用于單純的幾何線段和最值、幾何圖形的周長最值以及拋物線背景下的線段最值. 解題時需要明晰模型破題的核心內容——軸對稱線段等長變換，上述呈現了三類問題的求解思路和方法技巧，下面提出幾點學習建議.

1. 關注問題模型，掌握方法本質

本文的最值模型的解析過程中涉及了軸對稱變換和“兩點之間，線段最短”的共線定理，也是解決幾何線段和最值問題的核心內容. 學習該類問題的解題策略就需要關注模型本質，了解解題思路的構建方法，即通過軸對稱變換使同側線段轉換到參考線的兩側，從而為后續的點共線、化“折”為“直”提供可能. 因此在探究經典問題時需要深入了解問題模型，掌握解題原理，總結問題特點，強化基礎知識，提升解題靈活性.

2. 強化推理能力，提升解題思維

幾何最值問題是中考數學的經典問題之一，在探究解決過程中需要通過軸對稱變換來轉化問題，利用共線定理來確定最值情形. 該過程需從動態角度來加以分析，因此對學生的思維方式和能力有著較高的要求，在實際探究時需要注重分析推理，提升解題思維. 而在實際教學中，教師要有意識、有目的地通過變換問題條件、重組問題結構，引導學生大膽猜想、嚴謹論證，親身經歷數學模型建立、證明的過程，促進學生數學思維的發展.