關(guān)于一次函數(shù)綜合題的探析與思考

葛波

[摘 ?要] 以一次函數(shù)為背景的綜合題是中考的重點問題，該類問題往往與幾何內(nèi)容綜合考查，問題特點較為鮮明，一般圖像較為復雜，側(cè)重考查特殊圖形的幾何性質(zhì)和屬性文章以一道一次函數(shù)與幾何綜合題為例，開展突破探究、解后思考，并提出相應的教學建議.

[關(guān)鍵詞] 一次函數(shù);綜合題;面積;等腰三角形

一次函數(shù)是初中數(shù)學函數(shù)部分的重點知識，也是中考的熱點內(nèi)容，需要學生掌握一次函數(shù)的基礎知識，并能把握函數(shù)的關(guān)聯(lián)內(nèi)容，提升解決綜合問題的能力，下面以一道一次函數(shù)綜合題為例，開展問題剖析，思路突破.

解后思考，變式探討

上述是一次函數(shù)與幾何相結(jié)合的綜合題，主要考查了兩者的兩個結(jié)合點：一是函數(shù)背景下幾何面積模型的構(gòu)建，二是實現(xiàn)特殊三角形特殊性質(zhì)的坐標方程化. 命題形式較為獨特，合理構(gòu)建輔助線來輔助思考是解題的關(guān)鍵，下面對其進行深入探討.

1. 關(guān)于典型問題的解法剖析

考題的第（2）問求滿足面積比值關(guān)系的點是否存在，問題的核心為構(gòu)建一般三角形的面積模型. 上述采用了常見的面積割補法，即將一般三角形分為幾個較為特殊的三角形，通過求小三角形的面積來完成求解，所不同的是上述在進行割補時充分結(jié)合了坐標軸以及已知點坐標，對其進行整體化歸，這也是該類問題常見的簡化方式. 對于該問題還可以采用補形法，即依托原三角形來構(gòu)建矩形，然后通過減去矩形中的小三角形來求解. 而第（3）問求解三角形為等腰三角形時的直線解析式，上述把握特殊三角形的腰長相等特性，將其轉(zhuǎn)化為坐標系中點的距離關(guān)系，同時設定點的坐標參數(shù)，結(jié)合勾股定理來構(gòu)建關(guān)于線段長的代數(shù)方程.

2. 關(guān)于典型問題的變式探討

開展問題拓展探討有助于提升學生對問題的理解，下面基于考題的后兩問進行變式.

第（3）問變式：試分析y軸上是否存在一點H，使得△DEH為直角三角形，若存在，請求出點G的坐標;若不存在，請說明理由.

突破提示 該變式基于特殊三角形，討論存在情形，其中沒有設定直角，分析可知需要分∠E和∠H兩種情形. 求解時可以設定點G的坐標參數(shù)，然后基于勾股定理來構(gòu)建代數(shù)方程，通過解方程的形式來求出點G的具體坐標.

復習指導，教學建議

上述是關(guān)于一次函數(shù)與幾何綜合題的突破探討，對考題的問題特點、設問形式、突破思路和變式問題進行了探究，對于后續(xù)的學習具有一定的指導價值，下面基于復習備考提出幾點教學建議.

1. 重視基礎鞏固，破題過程應立足教材

一次函數(shù)是初中數(shù)學的重點內(nèi)容，也是函數(shù)研究的基礎知識，開展函數(shù)綜合題探究應以相應的定理定義、公式規(guī)律為基礎，逐步串聯(lián)知識方法來構(gòu)建解題思路. 以上述一次函數(shù)題為例，其中涉及了函數(shù)相交、函數(shù)解析式求解、求幾何面積和勾股定理等基礎知識，這些知識方法是問題突破的關(guān)鍵. 因此在復習備考階段，教師依然需要引導學生回歸教材基礎，關(guān)注函數(shù)與幾何部分的基礎內(nèi)容，挖掘知識本質(zhì)，鞏固基礎，為后續(xù)的能力提升做準備.

2. 重視思考反思，問題探究應挖掘考題

解后反思是考題探究的重要環(huán)節(jié)，也是指導學生掌握類型問題的求解方法，提升解題能力的重要方式. 上述考題完成思路突破后，對問題的特點和解法做了進一步剖析，并開展深層的考題變式，該過程中可使學生深刻認識考題的命制思路，了解中考該部分內(nèi)容的考查重點，掌握類型問題的題型特點、問題本質(zhì)、變式方向等，這對于后續(xù)的復習備考是十分重要的. 因此在考題探究過程中，教師應基于問題背景、考查重點和解題方法開展解題思考，指導學生掌握類型問題的解題思路，形成系統(tǒng)的解題策略.