“母子型”相似模型的解讀與應(yīng)用探究

葉含琪

[摘 ?要] 數(shù)學(xué)模型是基于特定對(duì)象的內(nèi)在特性而提取的規(guī)律、結(jié)論，可為后續(xù)的解題提供方法參照，因此實(shí)用性很強(qiáng). “母子型”相似模型是初中數(shù)學(xué)重要的幾何模型，利用該模型的結(jié)論可以快速打開(kāi)解題突破口. 文章深入解讀該模型，探討模型的使用思路，并結(jié)合模型探討對(duì)應(yīng)的綜合問(wèn)題.

[關(guān)鍵詞] 幾何相似;母子型;三角形;比例式;圓;拋物線

相似三角形是初中數(shù)學(xué)需要重點(diǎn)掌握的知識(shí)內(nèi)容，在相似三角形中存在眾多的相似模型，其中“母子型”相似模型應(yīng)用較為廣泛，其特點(diǎn)為由兩個(gè)相似的三角形相依組合，如“子依母懷”，故得其名. 深入理解模型內(nèi)涵，靈活運(yùn)用相關(guān)結(jié)論可以顯著提高解題效率，下面對(duì)“母子型”相似三角形開(kāi)展模型探究，問(wèn)題例析.

模型解讀

變形：模型中的頂角∠ABC具有一般性，可以適度對(duì)其變形，設(shè)定其為90°，對(duì)應(yīng)的BD變更為底邊AC上的垂線，則可以變形出特殊的“母子型”相似模型. 另外，若設(shè)定其中的點(diǎn)D為底邊AC上的動(dòng)點(diǎn)，則可以將其變更為動(dòng)點(diǎn)，結(jié)合三角形相似的判定定理命制相關(guān)的相似探究題.

“母子型”相似模型也稱之為共邊共角型三角形相似模型，其最為顯著的特征為：圖形中含有一個(gè)公共角和一條公共邊，大小三角形錯(cuò)疊相依，從中提取的兩組相等角可以證明一組三角形相似，進(jìn)而得到一條線段的平方與共線線段的乘積相等. 雖然“母子型”相似模型較為簡(jiǎn)單，但靈活運(yùn)用可以高效求解相關(guān)綜合問(wèn)題，例如與圓相結(jié)合的幾何綜合題，以拋物線為背景的探究問(wèn)題等.

模型鞏固

“母子型”相似模型簡(jiǎn)單，但實(shí)際考查時(shí)常結(jié)合眾多圖形構(gòu)成復(fù)合圖形，因此在解析時(shí)需要明晰模型特點(diǎn)，準(zhǔn)確提取問(wèn)題中的模型，利用模型的結(jié)論來(lái)推理求解.

分析 根據(jù)CE2=ED·EP的結(jié)構(gòu)，若要完成證明就需要將等積形式轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的比例形式，顯然需要利用三角形相似的性質(zhì)來(lái)證明，但與其直接相關(guān)的三角形并不存在，因此需要聯(lián)立多組相似三角形構(gòu)建. 分析可知圖中存在“母子型”相似三角形模型，根據(jù)其結(jié)論可以提煉對(duì)應(yīng)的線段比例式，后續(xù)結(jié)合△AEP與△BED的相似性質(zhì)可以完成證明.

證明 CE是Rt△ABC斜邊AB上的垂線，可證△ACE∽△CBE，由相似性質(zhì)可得CE2=AE·BE. 進(jìn)一步分析可證∠P=∠DBE，結(jié)合∠AEP=∠DEB=90°可證△AEP∽△DEB，由相似性質(zhì)可得AE·BE=ED·EP，綜合可知CE2=ED·EP，得證.

總結(jié) 涉及“母子型”相似模型的復(fù)合圖形，應(yīng)關(guān)注圖形的特點(diǎn)，合理提取模型，準(zhǔn)確利用模型結(jié)論進(jìn)行分析推理. 對(duì)于特殊的直角“母子型”相似模型，其中的線段比例式結(jié)論也可以從幾何射影的角度來(lái)理解，即斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊射影的比例中項(xiàng).

綜合拓展

“母子型”相似模型問(wèn)題具有較強(qiáng)的拓展性，可與其他知識(shí)內(nèi)容綜合考查，例如圓的性質(zhì)、三角函數(shù)、拋物線等. 學(xué)習(xí)時(shí)需要深入理解知識(shí)關(guān)聯(lián)，合理構(gòu)建解題思路.

1. 圓背景中的“母子型”相似模型

涉及直角的特殊“母子型”相似模型，其斜邊可以作為圓的直徑來(lái)構(gòu)建綜合圖像，從而將模型與圓周角定理聯(lián)系在一起，實(shí)際求解時(shí)需要結(jié)合圓的相關(guān)性質(zhì)來(lái)提取模型，結(jié)合模型結(jié)論來(lái)分析問(wèn)題.

例2 如圖3所示，點(diǎn)C是⊙O上的一點(diǎn)，點(diǎn)E是圓直徑AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，已知BF⊥CE，垂足為點(diǎn)F，延長(zhǎng)FB，與⊙O的交點(diǎn)為D，且∠ABD=2∠A，回答下列問(wèn)題.

評(píng)析 第（2）問(wèn)的求解建立在上一問(wèn)，也是提取問(wèn)題中“母子型”相似模型的基礎(chǔ)，該問(wèn)求角的正切值，顯然可以借助直角三角形轉(zhuǎn)化為線段比值問(wèn)題，從而與模型的結(jié)論相關(guān)聯(lián)，獲得“隔山打牛”簡(jiǎn)化過(guò)程的解題效果.

2. 拋物線背景中的“母子型”相似模型

拋物線可與幾何圖形相結(jié)合考查，對(duì)于涉及“母子型”相似模型的拋物線問(wèn)題，則需要首先提取其中的幾何模型，結(jié)合對(duì)應(yīng)結(jié)論進(jìn)行分析推理，合理利用兩點(diǎn)之間的距離公式求解線段長(zhǎng).

例3 拋物線y=-x2+2x+3與x軸的交點(diǎn)為A和B，與y軸的交點(diǎn)為C，頂點(diǎn)為D，其對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為F，與直線BC相交于點(diǎn)E.

（1）試求DE的長(zhǎng)度;

（2）設(shè)點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠DAO+∠DPO=∠α，試分析tan∠α=4時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

分析 （1）問(wèn)求解線段長(zhǎng)，根據(jù)曲線與直線、坐標(biāo)軸的交點(diǎn)關(guān)系即可確定相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，后續(xù)利用兩點(diǎn)之間的距離公式即可. （2）問(wèn)為拋物線中的三角函數(shù)問(wèn)題，顯然需要利用圖像中的三角形，依托直角三角形來(lái)轉(zhuǎn)化問(wèn)題. 需要關(guān)注其中的“母子型”相似模型，巧妙利用模型結(jié)論來(lái)簡(jiǎn)化過(guò)程.

反思建議

“母子型”相似模型是初中幾何常見(jiàn)的問(wèn)題模型，合理利用模型結(jié)論可以快速打開(kāi)解題突破口，因此有著一定的學(xué)習(xí)價(jià)值，在實(shí)際教學(xué)中提出以下幾點(diǎn)建議.

1. 重視閱讀分析，關(guān)注問(wèn)題本質(zhì)

分析“母子型”相似模型，可以發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)就是兩個(gè)三角形的相似問(wèn)題，關(guān)注問(wèn)題中的圖形特點(diǎn)，找到解題關(guān)鍵就可以將其提煉成簡(jiǎn)潔的幾何模型. 而在教學(xué)引導(dǎo)時(shí)需重視兩點(diǎn)：一是提升學(xué)生閱讀分析能力，模型的提煉源于對(duì)題目信息的整理和圖形特點(diǎn)的分析，教學(xué)中逐步引導(dǎo)學(xué)生探究圖形，理解問(wèn)題信息，使其掌握、活用模型;二是挖掘問(wèn)題本質(zhì)，合理使用模型可以提升解題效率，但教學(xué)中需要學(xué)生理解問(wèn)題本質(zhì)，掌握解析模型的方法策略，這樣學(xué)生在解題時(shí)才能快速、準(zhǔn)確地提取模型.

2. 重視歸納總結(jié)，把握模型變化

幾何模型是基于問(wèn)題條件、幾何特征所提煉的結(jié)論，其提煉過(guò)程涉及眾多的探究活動(dòng)，尤其應(yīng)重視對(duì)問(wèn)題模型的總結(jié)和歸納. 以上述模型為例，“母子型”相似模型是關(guān)于兩相似三角形位置關(guān)系而總結(jié)的與線段積相關(guān)的結(jié)論，探究過(guò)程需要以幾何特征為基礎(chǔ)，以三角形相似的判定定理為線索來(lái)構(gòu)建線段關(guān)聯(lián). 因此在教學(xué)中需引導(dǎo)學(xué)生掌握問(wèn)題總結(jié)、結(jié)論歸納的技巧，提升學(xué)生的整體能力. 同時(shí)重視對(duì)模型變式探究，把握模型變化，即關(guān)注模型的一般性，了解模型的特殊情形，提升學(xué)生利用模型解題的靈活性.