數學教材中數學文化研究
——以青島版《最美的圖形——圓》單元為例

山東教育科學研究院 徐云鴻

山東濟南市新苑小學 劉秀玲

《義務教育數學課程標準（2011年版）》在第一部分前言中明確指出：“數學是人類文化的重要組成部分，數學素養是現代社會每一個公民應該具備的基本素養。”數學作為人類文化的重要組成部分，對人的全面發展有著重大意義。數學文化，無論對激發學生的學習興趣還是對培養學生的創新素養，“其內涵是宏闊而深邃的，其功效是堅固而持久的，其形態是不斷生成而富有生機的。”教材作為教師教學的重要依據和資源，承擔著向學生傳遞數學文化的重要功能。鑒于此，本文嘗試對青島版小學數學《最美的圖形——圓》（以下簡稱為《圓》）單元的數學文化滲透情況進行分析解讀，從數學文化類型、數學文化運用水平、數學文化的功能三個維度進行分析，試圖解析教材是如何體現數學文化、包含了哪些數學文化以及是如何運用數學文化的，在此基礎上對教材進一步加強數學文化提出建議，并為教師教學提供一定的參考。

一、《圓》單元數學文化的類型分析

從文化的高度來建設數學課程是青島版教材的一大特色。教材力求通過各種文化素材浸潤學生心靈，點燃學生求知的激情，感受數學的美妙與美好，增強數學應用和創新意識，進而促進學生核心素養的發展。

關于數學文化的類型，不同的學者有不同的理解，因而劃分的角度也不盡相同。汪曉勤等將數學文化類型劃分為：數學史、數學與生活、數學與科技、數學與人文藝術四個方面，本文將按照這種劃分對《圓》單元進行分析。本單元共包括48項有關數學文化的項目，其中練習題之外的項目（記為C1）15項，練習題（記為C2）33項，見表1。

表1 《圓》一章中數學文化的類型

通過分析數學文化的類型，我們發現，青島版數學教材所選擇的素材內容較為廣泛。其中，“數學與生活”的內容最多，體現了數學的應用價值；同時還設計了少量的“數學與人文藝術”的內容，體現了數學的人文價值；在C1和C2中均體現了“數學與科技”的融合。總之，數學文化類型涵蓋了各個方面。當然，從具體類型而言，數學文化的類型還不太均衡，“數學與生活”占絕大多數，“數學與人文藝術”“數學與科技”的類型不足。因此，如何納入更多的人文藝術類、科技類的文化素材需要進一步思考。具體分析如下：

（一）“數學史”的內容分析及教材改進建議

（1）數學史的內容分析。數學史是數學文化的一種載體，是教學中滲透數學文化的一種有效途徑。將數學史的內容滲透到教材中可以讓學生產生文化歸屬感。本單元以數學史為載體滲透數學文化的項目共4項，包括我國的數學成就（圓周率）；圓的面積推導中引入了劉徽的“割圓術”和西方的“切西瓜”原理；數學家（介紹祖沖之），均出現在C1中，在C2中沒有出現數學史方面的文化滲透，這與本單元知識點有關。

教材中對史料內容的選擇傳承了我國深厚的數學文化，既可以激發學生對數學的興趣，又有利于培養學生的民族自豪感。

（2）教材中“數學史”編寫的改進建議。建議進一步豐富與“圓”相關的數學史料。與圓相關的數學史料內容很多，教材應該為學生呈現出最經典、最核心的數學史料內容。在信息窗一“圓的認識”中可增加古代對圓的特征的記載。比如《墨子·經上》：“圜，一中同長也。”《孟子》中說“不以規矩，不能成方圓”后來演化成了用以指導人們生活的名言警句，《周髀算經》中“圓出于方、方出于矩”等。這些數學史資料無疑可以很好地幫助學生更加深刻地認識“圓”，揭示“圓”的知識背后隱藏的深厚文化底蘊，增加民族自豪感與自信心。青島版教材在信息窗二僅介紹了《周髀算經》的相關記載，而不能忽略的是劉徽的割圓術，正是有了劉徽的貢獻，才為后來圓周率的研究奠定了重要的基礎。還有阿基米德等的研究成果，以及現代利用計算機技術對圓周率的研究進展等，如果在教材中增加這些內容，能夠讓學生更加完整地了解圓周率的研究史，體會數學發展歷史的曲折，感悟數學家孜孜以求的探索精神。

（二）“數學與生活”的內容分析及教材改進建議

（1）“數學與生活”的內容分析。本單元以“數學與生活”為載體滲透數學文化的內容非常多，較好地體現了數學作為基礎學科的地位與價值。根據學生與現實生活的接近程度，將數學與現實生活分為兩類：個人的、公共的。

“數學與生活”的內容總共出現29項，其中C1中的3項都是公共生活，C2中有11項屬于個人生活，其余15項屬于公共生活，個人生活與公共生活的數量差異不大，說明青島版教材非常注重兩類生活的均衡性。

進一步分析發現，“數學與生活”中的個人生活條目主要以家庭生活為主，比如“測量圓桌的周長、面積”等家庭用品為背景，較少涉及與學生個人相關的學校生活、日常生活、娛樂生活等；公共生活條目中主要以社會生活中出現的公共服務和設施為背景，比如“測量圓形花壇的周長和面積、種樹、磨面的石碾”等，但對于職業生活、經濟生活則較少涉及。

（2）“數學與生活”的改進建議。第一，素材內容應選擇貼近學生生活的真實情境。脫離生活實際的數學往往帶給學生一種抽象晦澀、深奧玄妙的灰色形象。因此，在素材選擇上盡量選擇情境真實、貼近學生生活，同時具有深厚文化底蘊的素材。這樣既能增加學生的興趣，又可以讓學生體會數學知識在解決問題中的價值和作用。第二，素材內容選擇應盡量多樣化。建議盡可能涵蓋數學與生活的各個領域，使日常的、學校的、社會的、經濟的、娛樂的、職業的等文化類型豐富多彩，開闊學生的視野，感受數學在生活中的作用，進而體會數學應用的廣泛性。

（三）“數學與科技”的內容分析及教材改進建議

（1）“數學與科技”的內容分析。根據科學技術研究的對象類型，將其分為四類：生物科學、地球科學、物質科學、高新技術。本單元中數學與科技的內容共計3項，比如介紹日本的富士山、石子落入水中產生的圓形水波、荷葉的受光面積等相關知識。說明教材非常注重數學與科學的聯系，這與數學學科的本質特性有關，同時教材選擇的是水波紋、荷葉等小學生生活中常見的現象和事物，符合小學生的心理特征。

（2）“數學與科技”的改進建議。數學是一門基礎學科，推動著科技的發展，為科技進步帶來很多意想不到的成果。現代科學技術日新月異，特別是計算機科學、人工智能領域發展迅猛，伴隨著大數據時代的到來，數學的價值日益凸顯，同時，數學的研究領域、應用領域也得到極大的拓展。在編寫教材時,應加強數學與其他學科的聯系，將不同學科的內容進行有機整合，有利于提升學生的綜合素養。比如，在練習中可以增加圓形的向日葵花盤、楓樹的種子以旋轉的方式在地面上傳播、臺風以滾動的方式在海面或陸地上移動、激流以漩渦的方式洶涌向前等素材，讓學生在學習數學知識和解決問題的過程中，了解其他學科的知識；再比如在學完“圓的認識”后，在練習中可以增加利用信息技術手段設計用圓組成的美麗圖案，不僅有助于提升學生的興趣、培養學生的創造能力，還有助于提升學生的美學素養。另外，“圓”屬于空間與圖形領域，教材中受紙質材料的限制，很多內容的呈現不夠形象直觀，可以利用PowerPoint、flash、3D打印等信息技術手段幫助學生加強對于圓的特征，周長、面積公式推導等知識的理解，從而培養學生的空間觀念與空間想象能力，體會模型思想。

（四）“數學與人文藝術”的內容分析及教材修訂建議

（1）“數學與人文藝術”的內容分析。根據藝術形式的不同，分為四類：人文、美術、音樂和建筑。“數學與人文藝術”的內容在C1和C2中均有出現，共計8項。

本單元涉及中國古代建筑天壇、英國的巨石陣等，這說明教材關注到了數學與人文藝術的聯系，但從整體看來，數學與人文、數學與音樂、數學與建筑的類型還不夠豐富。

（2）“數學與人文藝術”的改進建議。本單元“數學與人文藝術”的內容中，沒有涉及與音樂相聯系的內容，說明教材對數學與音樂這方面的關注度不夠，建議增加與音樂有關的內容，如以閱讀材料的形式呈現“圓周率之歌”，把小學生喜愛的音樂與數學有機地融合起來，讓學生了解數學符號與音樂的關系，感受數學美的熏陶；數學與建筑方面雖有涉及但內容不多，古今中外都有大量的與圓有關的著名建筑，教材可以增加更多的與建筑相關的素材；最后，適量增加數學與美術方面的背景素材。美術素描中基礎圖形圓的繪畫方法就是典型的圓出自方的詮釋和割圓術的反證。

二、數學文化在教材中的運用水平

就教材中數學文化的運用水平而言，采用王建磐等提出的框架進行分析，將數學教材中數學史的運用水平分為點綴式、附加式、復制式、順應式四類。將其余類型的數學文化運用水平分為外在型、可分離型和不可分離型三類。

（一）數學史的運用水平

表2 《圓》一章中數學史的運用水平

表3 《圓》一章中其他數學文化類型的運用水平

教材中祖沖之的介紹屬于附加式，圓周率以及圓的面積推導屬于順應式。可見，青島版教材對于數學史的運用水平較高。以往的教材中，更多的是把數學史放到“你知道嗎？”中，青島版教材將數學史與教學內容有機融合，充分體現了數學文化的教育價值，其史料內容的介紹與學生的認知結構相統一。比如在“圓的面積”推導中，將有關的史料放入教材例題的學習中，從而將數學史與教學知識內容完美結合，避免了數學文化運用水平的淺層化。教材以幾個學生交流的方式呈現了圓的外切正多邊形和內接正多邊形無限逼近以及用拼割法把圓轉化為平行四邊形或長方形的研究方法，隱含著古代中外數學家們關于“圓的面積”的探索歷程。教材對史料內容的運用水平較高，學生在思考與探究中，既學到了圓的面積推理的方法，又領略了古人的智慧以及數學家孜孜不倦的求真求實精神。因此，教材編排獨具匠心，彰顯了數學教學的文化味，將數學的科學性與人文性有機結合。

（二）其余類型的數學文化運用水平

就其他數學文化類型的運用水平而言，外在型8項；可分離型18項；不可分離型22項。見表3。

教材中有一半多的條目屬于不可分離型，可見教材關注了數學文化與數學知識的關聯。可分離型的條目有16項，占比不到一半。可分離的應用情境主要出現在練習中，要解決的問題不是情境本身，情境只是附加的干擾性，只需要用數學知識解決隱藏的數學問題。比如：“求時針的尖端走過的路程是多少厘米？”顯然這是強加給這個情境的，在真實生活中沒有人會去計算分針走過的路程。

表4 《圓》一章中其他數學文化類型的運用水平

進一步分析《圓》單元中不同類型數學文化的運用水平可以發現（見表4），“數學與生活”超過50%的項目屬于不可分離型的運用水平，“數學與科技”有50%屬于不可分離型的運用水平，說明兩種文化類型在本單元中數學文化運用水平較高，“數學與人文藝術”的運用水平分布比較均衡。

整體來看，青島版教材中數學文化內容多采用順應式和不可分離型的運用方式，運用水平較高。其中，可分離型占18項，占一定的比例，說明有些數學文化的內容與數學知識的關聯度不高。為了進一步提高數學文化內容的運用水平，就要充分發掘與篩選更多的文化素材，以更加自然的方式融入數學中,成為數學問題的有機組成部分，讓學生真正體驗到“數學本質上就是一種文化”，否則會給教師和學生一種從外部強加背景或者貼標簽的生硬的感覺。用數學知識解釋生活現象，使問題內生于情境，情境服務于數學學習，從而實現數學與文化二者的有機融合。

三、數學文化在教材中的功能

數學文化在教材中的功能借鑒Dickenson-Jones的分類，將數學文化的功能分為提供背景性情境、提供應用性情境、拓展數學思維與方法、促進數學與文化交融、體驗文化實踐。

表5 《圓》一章中數學文化功能

從以上數據可以看出，數學文化功能主要體現在提供應用性情境上，大多出現在練習中。教材關注數學在各個領域中的應用，關注數學的應用價值；其他類型也有所涉及，比如數學史以促進數學與文化交融為主，這表明教材也充分考慮了數學文化價值的豐富性。青島版教材豐富而全面地呈現了數學文化的各類功能，而且各個文化類型的功能定位也不同。

比較C1和C2中的數學文化功能可以發現，C1以提供背景性情境和促進數學與文化交融為主，C2則是以提供背景性情境和提供應用性情境為主。出現這一現象與欄目本身的特點有關，教材編排注重與圓相關的各種背景知識，并且注重用學到的圓的有關知識解決生活中的實際問題，有利于學生建立數學與生活的關系，體會數學的作用。

進一步分析各種數學文化類型的功能可以看出（見表6），數學史的功能主要是“拓展數學思維與方法”和“促進數學與文化交融”；數學與生活的功能主要是“提供應用性情境”，其次是“提供背景性情境”；數學與科技的功能主要是“促進數學與文化交融”和“提供背景性情境”；數學與人文藝術的功能以“促進數學與文化交融”為主。總體而言，青島版教材中各種數學文化類型的功能比較豐富。

表6 《圓》一章中不同類型數學文化的功能

本文從數學文化類型、數學文化運用水平、數學文化的功能三個維度，以《最美的圖形——圓》單元為例，分析了青島版數學教材中數學文化的滲透情況，為教師提供了從數學文化視角研究教材的可操作的方法，有助于教師找準教材中數學文化的滲透點，全面領略數學文化功能，充分發揮數學課程的育人功能。