課，在“化歸”中行走

徐曦霞

【摘要】課程教材研究所王永春教授指出：數學思想方法是數學的生命和靈魂，是數學知識的精髓。“比賽場次”是教材中具體落實“從簡單情形入手尋找規律”解決問題策略的載體，借助它可以積累解決問題的學習經驗，再與前后的學習對比溝通，形成較完善的“化歸”的數學思想方法。

【關鍵詞】化歸；簡單情形；基本活動經驗

六年級的“比賽場次”一課主要圍繞“化歸”數學思想，具體化落實在每一個教學環節之中，能使學生深切體驗數學思想方法的價值，能使學生在日后的數學學習中自覺運用。教師力求將“化歸”數學思想與知識教學結合起來，滲透在課堂教學中，使課堂流露出濃濃的數學味。

案例片段1：新知探究部分

一、借助教材回顧畫圖與列表的方法

如果有10位同學參加比賽，每兩名同學之間要進行一場比賽，一共要比幾場？三年級我們學過“4個隊伍進行比賽需要比幾場”，認識了畫圖法和列表法。（回顧方法）

二、利用列表或畫圖的方式尋找規律

1.學生獨立思考、探索，教師巡視；

2.小組交流；

3.全班匯報。

4.方法間的聯系：你們能在其他方法中也找到這個規律嗎？

5.計算結果：10人進行乒乓球比賽，需要進行幾場？列式計算。

歸納方法：復雜的問題可以從簡單的情形開始尋找規律

研課思考：上課時，多數學生無法按照設計意圖，從簡單情形入手去思考問題。都是根據教師給定的作業單，認為填滿就完成任務，然后再思考規律。冷靜思考后，一看到“10人單循環賽，一共要比幾場”的問題，自然就是“刷刷刷”地羅列出1、2、3、4、5、6、7、8、9、10號，一個不少地，連線、列表，數出結果，或者列出算式1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，再就是10乘（10-1）÷2=45……總之，體現的是“從結果尋找結果”的思維方式。如何顛覆這種慣性思維，體現從簡單情形入手？我們應這樣思考：

1.簡單情形具體是什么樣的？在這里，最簡單的情形是什么情形？

2.如何從最簡單的情形開始，一步一步研究，直到得出規律？

3.怎樣讓孩子體驗這個看似做無用功的過程？并樂意去探索？

打破思維定勢，從頭開始！

團隊研討后，決定改變：從關注結果的表現形式，調整為關注發現規律的過程。不去關注結果，而是關注最簡單的情形———從“兩個選手”開始，逐步增加3號選手，研究這時的情形，再增加4號選手，研究目前的情形……直到從中發現規律，解決10個選手，乃至100個、1000個選手的問題。將“10個選手單循環賽一共要比幾場”這樣復雜的問題，用“化歸”的數學思想，通過畫圖、列表，從簡單情形入手，發現規律，最后解決復雜問題。因為“化歸”既是一般化的數學思想方法，具有普遍的意義；也是攻克各種復雜問題的法寶之一，有重要的意義和作用。

調整一：化復雜為簡單

有些數學問題比較復雜，直接解答過程會比較繁瑣，如果在結構和數量關系相似的情況下，從簡單的情形入手，找到解決問題的方法或建立模型，可以化繁為簡，尋求一些規律、技巧和捷徑，實為一種上策。

案例片段2：調整后新課開始探索部分

三、利用列表或畫圖的方式尋找規律

（一）從簡單情形開始研究

師：最簡單的情形就是2個選手，我們從2個選手開始研究，再研究3個選手、4個選手，這樣依次考慮。

（二）逐步畫出示意圖并寫出算式

師：示意圖可以是列表，也可以是畫圖。我們該如何從簡單的情形逐步畫出示意圖，并寫出算式呢？

（課件出示）舉個例子，在列表法中，可以先填寫1號選手，不能比；再添2號選手，打一個√，馬上把圖形信息轉化成數字信息，2個選手比1場；再添3號選手，在原有基礎上再增加兩個√，因此3個選手，比1+2=3場。

在畫圖法中也是如此，畫一個，寫一個，畫一個，寫一個，你能像這樣接著往下考慮嗎？

師：在畫的過程中要仔細觀察算式，當你發現了規律就可以停止往下畫圖。

（三）觀察算式，你能發現什么規律？

學生獨立思考，尋找規律，教師巡視。研課思考：展現探索規律的過程，學生在教師的引導下體驗表格、畫圖的形成過程，從最簡單的情形1個選手、2個選手、3個選手開始，一步一步研究，并及時將圖與式進行轉化，幫助學生積累基本的活動經驗。學生在此基礎上研究4個選手、5個選手的情形，基本上能在活動中自覺發現規律，達成預設目標。讓學生明白帶著思考去列表、去畫圖，而不僅是將作業單填滿，更重要的是發現其中的規律。在研課過程中，決定舍棄規律3（比賽場數=（n-1）×n÷2）的發現，因為考慮到受益面的問題，認為這高于多數學生的理解水平，不利于全體學生的學習。調整為大量的時間用來細化感悟過程，讓學生充分感受“如何從簡單情形入手”“如何展示表格”“圖畫的形成過程”“如何在算式中發現規律”。

調整二：化陌生為熟悉

學生學習數學的過程，就是一個不斷面對新知識的過程；解決疑難問題的過程，也是一個面對陌生問題的過程。從某種程度上說，這種轉化過程對學生來說既是一個探索的過程，又是一個創新的過程；與課程標準提倡培養學生的探索能力和創新精神是一致的。因此，在教學中，讓學生學會把陌生的問題轉化為熟悉的問題，是一個比較重要的原則。

案例片段3：新知學習前的回顧，課堂總結后的延伸環節一：制造矛盾沖突，引出尋找規律的策略

師：要解決10人單循環賽，你準備用什么方法呢？生：畫圖、列表

師：要數出一共要比賽多少場？容易數嗎？（不容易、很麻煩、很慢……）

師：我們想象一下，如果是100人、1000人？（更不容易、更麻煩、數不清）

師：那要怎么辦？

環節二：課末總結延伸

師：我們從簡單情形入手，借助畫圖與列表，尋找到規律，從而解決復雜問題。其實這種化難為易的做法早就進入了我們的學習生活。我們一起來看一看！

師：在五年級上學期所學的圖形的規律問題中，我們要解決“擺10個三角形，需要多少根小棒”這樣復雜的問題，我們也是從1個、2個、3個、4個這種簡單的情形入手，尋找規律。還有雞兔同籠問題，也是從簡單情形入手，點陣中的規律問題也是從簡單情形入手，像這樣的問題還有許多許多……

在今后的學習中，如果再遇到這樣復雜的問題，我們可以怎么做呢？

生：從簡單情形入手。

研課思考：站在畢業班的高度，幫助學生梳理數學思想方法：從三年級4支球隊的比賽場次的學習—六年級10人單循環賽的比賽場次問題—五年級圖形中的規律、雞兔同籠、點陣中的規律—后續運用。兩個小環節，使本課的學習有了“前世今生”。環節一從回顧以前相關的舊知開始，復習所用的畫圖、列表等解決問題的方法，并在此基礎上進行提升、簡化，喚醒學生的認知，幫助學生找到解決新的問題的方向，然后出示完整的圖、表，讓學生觀察后覺得“太麻煩了”，當人數更多時“不可想象”，體驗到列表、畫圖的局限性，進而產生學習新方法———尋找規律的必要性。環節二，在學完新知之后，有了“化難為易”的充分感受之后，再回頭去看之前的學習，發現其實這種“化歸”的數學思想一直“隱身”在我們的數學學習之中，今天的學習使之明朗化、清晰化，真是“撥開云霧見天日、守得云開見月明”，可為以后解決新的、復雜的問題提供方向，課后能夠自動遷移到一些從未遇到的數學問題。課后可運用到的具體情形，如：

2.把186拆分成兩個自然數的和，怎樣拆分才能使拆分后的兩個自然數的乘積最大？187呢？

3.一層樓有10個臺階，一次只能上1個或者2個臺階，一共有多少種不同走法？

研課感悟：整個研課過程下來，團隊中每個人都是收獲多多，有過迷茫，有過困惑，有過激烈爭論，有過茅塞頓開，留下思考無數。如何把握教材的脈搏？如何幫助學生積累活動經驗？如何喚醒學生的相關記憶？……有些問題已經解決了，有些問題還沒有最佳的答案。

因為，對于課堂，我們一直在路上，從未止步！

（福建省泉州市鯉城區實驗小學，福建泉州362000）