淺談如何利用幾何畫板助解中考動點題

摘 要：幾何畫板在數學教學及解題中具有靈動的優越性，為數學教師的主導和學生快捷高效學習提供了五彩繽紛的舞臺。利用幾何畫板來解決動點類型的中考題，不僅具有明顯的效果，更能培養學生的數學品質，提高解決問題的能力。

關鍵詞：幾何畫板;助解;動點題;提高能力

本文列舉了初中常見的數學思想方法，分析了中考動點題，以數形結合思想為基礎，將中考動點題分為求動點的軌跡、求動點問題的函數關系和圖像、求動點中的最值問題以及求動點的存在性問題等四大類型并利用幾何畫板來分析解題思路，突破了重難點，徹底消除動點題的障礙，從而不斷提高數學成績，并能借此激發學生學習數學的興趣，培養數學思想方法和創新精神，提高學生數學思維敏捷度和探究、解決問題的能力。

一、 數學思想方法

數學思想方法揭示了概念、原理、規律的本質，是解決數學問題的根本策略，是溝通基礎知識與能力的橋梁，是數學的精髓。這一方法在教學中一定要注重培養，并在解題中不斷提煉，達到觸類旁通的目的。解中考題常用到的數學思想方法有：整體思想、轉化與化歸思想、方程與函數思想、數形結合思想、分類討論思想等。

其中，數量關系和空間形式，即數和形，是初中數學教學中的兩大主要基本內容。數形結合思想貫穿于整個中學數學教材體系之中，它是幾大核心的數學思想方法之一。“由數思形，由形探數，以形助數，用數解形”揭示的就是數形關系。在傳統的教學中，由于各種教學條件的限制，數和形極難靈活完美地結合，特別是某些隱藏在變動圖形之中的數或形很難挖掘出來，但利用幾何畫板卻是輕而易舉。所以幾何畫板可以將數形結合表現得淋漓盡致，幾近完美。

二、 題型特點

以運動的觀點探究圖形變化規律的試題稱為動態題，是探究在圖形的運動中，出現某一特定圖形位置或運動中所形成的圖形、數量關系的“變”與“不變”性的試題。其中每一年各省市的中考題中，動態題中的動點類型的試題居多。因為動點題靈活多變，動靜相融，命題的設置常帶有開放性、不變性、操作性和探究性，動點題能較好地融合分類討論、數與形、轉換與化歸、方程與函數等數學思想，還能與代數中的不等式、三角函數知識，幾何中的三角形、四邊形、圓、圖形的全等和相似等相結合，綜合性和靈活性比較強，能深刻地考查學生基礎知識的掌握及解決問題的能力，所以這也是中考中較難的一類題。但對于此類題，許多學生感覺到無從下手，找不出那些不變的量以及變量，變量又是如何變化的。

三、 助解探究

下面我就結合自己的教學實踐，列舉利用幾何畫板助解中考題中的動點題。從中體會幾何畫板在解動點題中的作用。

（一）追蹤點的軌跡

在初中階段，動點的軌跡主要有直線段、直線、三角形、四邊形、圓弧、圓等。

例1 如圖1，在矩形ABCD中，AB=3，AD=3，點P是AD邊上的一個動點，連接BP，作點A關于直線BP的對稱點A1，連接A1C，設點A1C的中點為Q，當點P從點A出發，沿邊AD運動到點D時停止運動，點Q的運動路徑長為??? 。

思路分析：根據題意用幾何畫板作出圖形，設置了追蹤點A1和點Q，拖動點P沿AD滑動，即可顯示出點A1和點Q的運動路徑（如圖2），從而可進一步解得點Q的運動路徑長為33π。

（二）動點問題的函數關系和圖像

點變動，線、面隨之改變，但中考中考查的卻是有規律地變化，而且是涉及兩個變量的數量關系的變化，它們主要對應著一次函數、反比例函數和二次函數。

例2 如圖3，已知矩形ABCD的長AB為5，寬BC為4，E是BC邊上的一個動點，AE⊥EF，EF交CD于點F。設BE=x，CF=y，則點E從點B運動到點C時，能表示y關于x的函數關系的大致圖像是（? ）

思路分析：（1）圖中點E在運動過程中，△ABE與△ECF有什么關系？（2）根據分析先畫出函數的大致圖像，然后借助幾何畫板的演示，拖動點E可以觀察到x和y的變化，由△ABE∽△ECF得，yx=4-x5，由此可知A正確。

（三）動點問題的最值

這種類型的問題，一般是動點運動到某個特定位置時，線、角、面能取到最大值或最小值。借助幾何畫板能夠使學生快速找到并求得最值。

例3 如圖4，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，經過點C且與邊AB相切的動圓與AC，BC分別相交于點P，Q，則線段PQ長度的最小值是（? ）

A. 4.8

B. 4.75

C. 5

D. 6

思路分析：此題中，動圓的圓心、半徑都不確定，學生完成此題的難度較大，但借助幾何畫板，就可以很輕松解決這道題了（如圖5）。∠C=??? ，因此PQ為圓的直徑，那么PQ=CO+OF，拖動點F，當點OF在CD（AB邊上的高）上時，圓的半徑最小。此時PQ的最小值是4.8，A正確。

例4 如圖6，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，將△ABC繞頂點C逆時針旋轉得到△A′B′C，M是BC的中點，P是A′B′的中點，連接PM，若BC=2，∠BAC=30°，則線段PM的最大值是（? ）

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

思路分析：在幾何畫板中設置了跟蹤點P的軌跡，拖動點A′，即可直觀地察看出，當PM在BC的延長線上時，取得最大值，同時也清楚地觀察到各量的變與不變及大小關系（如圖7），從而易知B正確。

（四）存在性問題

在動點中，要求是否存在某一動點，使得一個數量關系式成立或圖形符合要求，這種類型的中考題在這里稱為存在性問題。這種題往往作為中考的壓軸題。

例5 （2017·賀州）如圖8，在平面直角坐標系中，△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，拋物線y=-x2+bx+c經過A，B兩點，其中點A，C的坐標分別為（1，0），（-4，0），拋物線的頂點為點D。

（1）求拋物線的解析式;

（2）點E是直角三角形ABC斜邊AB上的一個動點（不與A，B重合），過點E作x軸的垂線，交拋物線于點F，當線段FE的長度最大時，求點E的坐標;

（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在一點P，使△PEF是以EF為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有點P的坐標;若不存在，請說明理由。

思路分析：（1）由A、C兩點的坐標和△ABC為等腰直角三角形可以確定點B的坐標，進而求得拋物線的解析式y=-x2-2x+3;（2）度量EF并拖動點E帶動直線EF（如圖9），可以觀察出EF何時取得最大值，并讓學生感受在數形結合下體驗數學建模。從數量上分析，設點F（x，-x2-2x+3），則E（x，x-1）（點E是EF與yAB=x-1的交點），所以EF=-x2-2x+3-（x-1）=-x2-3x+4=-x+322+254;（3）在EF最大處，拖動點P，從而改變點P的位置，使學生深刻認識點P的存在性（P、P1、P2的位置，如圖10）。

四、 助解作用

1. 不借助教學軟件，教師用筆、直尺、三角板等工具在黑板畫圖形來講解中考動點題，不僅耗時費力，學生如果沒有非常強的數學思維的話，必定難以理解，而且效率低下，與科技信息時代的方便快捷高效等特征極不相稱，不利于數形結合等思想的培養。而幾何畫板，備課時做好動點變化圖形后，上課便可將動點的變化過程表現出來，學生就會直觀地觀察到圖形運動的過程，為學生提供一個方便快捷又高效的探究舞臺，將原來很復雜的問題簡單化，簡化了解題過程，提高了學習效率。

2. 對于動點題，學生百思不得其解，思維不能突破時，利用幾何畫板動點演示，可以激發學生去發現哪些是變量和不變的量，變量又是如何變化的，從而去探索、發現、總結規律，抓住不變的實質，突破動點問題的難點，巧妙地解出來。因此，往往能激發學生學習數學的興趣，增強其學習的信心。

3. 學生通過動手演示，動畫變形，不斷地探索，不僅培養了學生敏捷的思維，同時培養學生主動探索研究、動手操作實踐的能力，也能培養學生創新精神和創造能力，不斷提高學生解決問題的能力。

參考文獻：

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[2]范云波.幾何畫板在中考動態問題教學中運用的探究[J].中學數學研究，2016（5）.

[3]崔守梅.例談幾何畫板在數學實驗中的應用[J].中小學教育，2018（310）.

作者簡介：岑家海，廣西壯族自治區賀州市，廣西賀州市八步區大寧鎮初級中學。