把握本質(zhì) 類比建構(gòu)

摘 要：“周長”和“面積”兩個(gè)概念易混淆，學(xué)生練習(xí)中的錯(cuò)誤多得實(shí)在令人扎心。要幫助學(xué)生真正理解

“周長”和“面積”的概念，把握概念的本質(zhì)是關(guān)鍵。教學(xué)中緊扣核心問題，設(shè)計(jì)有效的學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓學(xué)生充分體驗(yàn)與感悟，深刻理解概念。二者都屬于度量范疇，教學(xué)中應(yīng)適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行橫縱類比，深化概念，構(gòu)建知識體系。

關(guān)鍵詞：概念;本質(zhì);核心;類比;建構(gòu)

“周長”和“面積”是“圖形和幾何”領(lǐng)域中的兩個(gè)重要內(nèi)容。北師大版教材按照先學(xué)周長再學(xué)面積的思路進(jìn)行編排，分別將兩部分內(nèi)容安排在三年級上冊與三年級下冊。為了幫助學(xué)生建立周長、面積的概念，發(fā)展學(xué)生的空間觀念，教材在編寫上重視概念的形成過程，注重在直觀操作和形式多樣的活動(dòng)中體驗(yàn)。然而在教學(xué)現(xiàn)實(shí)中，這兩個(gè)概念的混淆卻一直困擾著學(xué)生和老師。

緣起 聞怨言——學(xué)生錯(cuò)誤甚扎心

來自一線老師的心聲：

明明在課上反復(fù)講、反復(fù)做，學(xué)生就是分不清周長和面積……

教學(xué)時(shí)特別注重從學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，結(jié)合生活中熟悉的具體事物來幫助學(xué)生認(rèn)識周長、面積。“封閉圖形”“一周”“平面圖形”“物體表面”這些重點(diǎn)詞明明都落實(shí)了，為什么還這么多錯(cuò)呀？

通過引導(dǎo)學(xué)生在觀察、操作、交流等多種形式的活動(dòng)中，逐步理解周長與面積的實(shí)際含義，按理說學(xué)生該獲得了許多經(jīng)驗(yàn)，建立了周長與面積的概念的呀，為什么還是不理解？

擔(dān)心學(xué)生混淆，特意進(jìn)行了一些對比練習(xí)，但效果仍不佳……

長方形、正方形的周長與面積公式學(xué)生背得很溜，基本題也掌握得不錯(cuò)的，但總面對一些實(shí)際問題時(shí)，學(xué)生便亂了馬腳。

剛學(xué)習(xí)時(shí)明明做得很好，過了段時(shí)間怎么又不會了！

學(xué)習(xí)周長相應(yīng)的題目明明是做得很好的，可學(xué)了面積之后，又亂了！

……

覃思 找對策——柳暗花明又一村

在感嘆學(xué)生錯(cuò)題扎心時(shí)，我們更應(yīng)該反思。這些看似平常的問題，學(xué)生卻反復(fù)出錯(cuò)的原因是什么？是不是我們在教學(xué)中忽略了什么？學(xué)生對周長、面積認(rèn)識的難點(diǎn)在哪里？怎樣才能幫助學(xué)生真正建立周長和面積的概念？筆者淺談幾點(diǎn)拙見。

一、 溯源——明晰本質(zhì)

周長和面積的概念是抽象的。概念的建立不是概念術(shù)語的記憶過程，也不是單純的直觀形象的積累過程，而是概念意義的建構(gòu)過程。為了更好地幫助學(xué)生完成概念的意義建構(gòu)，明晰概念的本質(zhì)是關(guān)鍵。追本溯源，什么是周長？雖然各版本的教材表述略有不同，但基本一致：物體表面或平面圖形一周的長度。許多老師圍繞著這句話做教學(xué)設(shè)計(jì)，在“什么是表面”“什么是一周”“什么是封閉”等問題上下足了功夫。如果僅僅停留于此常識性的定義，會造成學(xué)生說起周長，定義呼之而出，卻不能真正理解概念。進(jìn)而，深思“周長的本質(zhì)是什么”。辭海對周長的定義是：“環(huán)繞有限面積的區(qū)域邊緣的長度積分，叫作周長，也就是圖形一周的長度。”顯然，圖形的周長就是用適當(dāng)?shù)拈L度單位量出圖形邊線的長度，即“度長”。

什么是面積呢？物體表面或平面圖形的大小稱為面積。面積作為事物的一種屬性，和長度一樣，是可以度量的。對一個(gè)二維圖形的表面進(jìn)行度量以后，用一個(gè)“數(shù)”表示它的大小，就是該圖形的面積。可見面積的本質(zhì)是度量，其中包含著兩個(gè)問題：用什么面來“積”、積了“幾次”，即所要度量的圖形里含有多少個(gè)這樣的面積單位。如果說長度即“度”長，面積則是“積”面。

二、 尋徑——聚焦核心

學(xué)生出現(xiàn)面積單位與長度單位、面積計(jì)算與周長計(jì)算相混淆的錯(cuò)誤，主要原因在于長度與面積的概念模糊、長度單位與面積單位的概念不清。為此建立初步的概念，是教學(xué)的難點(diǎn)。因此，在備課時(shí)需緊扣核心問題，精準(zhǔn)實(shí)施教學(xué)。

（一）明確度量對象

度量首先要明確度量的對象。在日常生活中，學(xué)生容易先入為主，先看到“體”與“面”，沒能關(guān)注到“線”。因?yàn)榫€與面是相依的，少有以“線”狀態(tài)存在的物體，所以學(xué)生對于圖形關(guān)注它們的形狀比較多，而關(guān)注和感受周長較少。為此，在教學(xué)周長時(shí)，讓學(xué)生真真切切地看到“線”在哪里，正是我們教學(xué)周長的關(guān)鍵。如何讓學(xué)生由關(guān)注面到關(guān)注線？如何讓“線”在面上顯性出來呢？應(yīng)讓學(xué)生養(yǎng)成先“描一描”的習(xí)慣，讓物體表面或圖形的一周所指的“線”顯性化，久而久之，學(xué)生不僅能關(guān)注面還能關(guān)注到線了。當(dāng)學(xué)生能明明白白地看到面中的線時(shí)，再求這些線的總長，便不再是難題。

面積是對二維空間圖形的度量，度量對象是一個(gè)確定的面。學(xué)生對“面”“大小”都非常熟悉，較周長而言，對于面積倒像是熟悉的陌生人。《小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的大道理》中指出：早在嬰兒階段，人們就已經(jīng)能夠辨別兩塊餅的大小。把“大小”作為面積，就如同把“長短”作為長度一樣，并沒有實(shí)質(zhì)性的解惑，都是同一個(gè)意思的簡單重復(fù)，不能幫助學(xué)生真正理解面積概念。這里的“大小”不只是有的大些、有的小些，“相差”的意思，還有每個(gè)面、每個(gè)圖形的大小都是確定的意思，這便是形成面積概念的關(guān)鍵。為此，教學(xué)時(shí)從度量出發(fā)，加強(qiáng)直觀感受，在物體表面和平面圖形上抽象出面積的意義，引導(dǎo)學(xué)生逐漸體會面積的含義，分層次展開面積意義的教學(xué)。

（二）建立標(biāo)準(zhǔn)單位

要度量就必須確定度量單位，對標(biāo)準(zhǔn)單位大小的體驗(yàn)和建立是一關(guān)鍵。單位不僅僅是一個(gè)抽象的概念，對它的認(rèn)識應(yīng)當(dāng)通過實(shí)踐活動(dòng)體驗(yàn)它的實(shí)際意義，幫助學(xué)生形成常用面積單位的表象，即形成面積單位大小的觀念。

“面”是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，以1平方厘米去積累，1平方厘米就是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，用幾平方厘米去積累，幾平方厘米就是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。教學(xué)中，學(xué)生通過動(dòng)手操作，增加對標(biāo)準(zhǔn)單位累加的體驗(yàn)。充分感悟由于標(biāo)準(zhǔn)不同，積累的次數(shù)也不同，感受從不同標(biāo)準(zhǔn)到統(tǒng)一單位的必要。

對標(biāo)準(zhǔn)單位大小的建立，教學(xué)不能停留在“知道”的層面，各個(gè)面積單位觀念的形成是我們的追求。在教學(xué)中，通過設(shè)置一些學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓學(xué)生直接感受各個(gè)面積單位，并在自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中形成清楚的表象。如通過動(dòng)手制作，親身體驗(yàn)每一個(gè)面積單位的形狀與大小，在頭腦中形成表象。再憑頭腦里的各個(gè)面積單位的表象，在身邊的物體上，尋找面積大約1平方厘米或1平方分米的面;用手勢比劃1平方分米的大小;試一試1平方米的正方形里大約可以站多少個(gè)同學(xué)……通過多樣的形式加強(qiáng)學(xué)生對各個(gè)面積單位的體驗(yàn)。

（三）理解計(jì)算方法

在過去的長方形的面積教學(xué)中，容易把重心放在歸納公式并利用公式來計(jì)算圖形面積上，為此在教學(xué)中多數(shù)是組織學(xué)生進(jìn)行操作、完成表格、觀察發(fā)現(xiàn)等活動(dòng)，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)面積與長和寬之間的關(guān)系，歸納出長方形、正方形的面積公式，整個(gè)過程有動(dòng)手操作、有思考、有交流。教學(xué)一氣呵成，學(xué)生既掌握了公式又能加以應(yīng)用，心中的那份小小成就感便悄然而至。看似順暢又帶有靈動(dòng)的課堂中似乎少了什么？面積計(jì)算公式只是一種快速求面積的辦法，是眾多方法中的優(yōu)化。學(xué)生除了會運(yùn)用公式計(jì)算之外，更需要什么？

新課程在教學(xué)平面圖形的面積時(shí)則更重視測量。即用面積單位擺一擺度量圖形的大小，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)長方形面積計(jì)算的一些規(guī)律，意義建構(gòu)面積計(jì)算公式。為此，教學(xué)中要加強(qiáng)對公式的理解。緊扣問題：你能得到這個(gè)長方形的面積嗎？引發(fā)學(xué)生探究，從“要得到長方形的面積就是要求出這個(gè)長方形中含有多少個(gè)面積單位”，到發(fā)現(xiàn)“每行擺面積單位的個(gè)數(shù)與行數(shù)相乘的積等于長方形包含的面積單位的個(gè)數(shù)”，再悟出“長包含的長度單位的個(gè)數(shù)與寬包含的長度單位的個(gè)數(shù)相乘即是長方形包含的面積單位的個(gè)數(shù)”，在“數(shù)”與“計(jì)算”面積的過程中，明白計(jì)算長方形的面積是它的長乘寬的道理。明白了公式背后的意義，對學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成至關(guān)重要。

三、 通融——類比構(gòu)建

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，要注重知識的“生長點(diǎn)”與“延伸點(diǎn)”，把每堂課教學(xué)的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結(jié)構(gòu)和體系，處理好局部知識與整體知識的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性。

“周長”概念對于學(xué)生來說是新鮮的，但它實(shí)屬“度長”體系。學(xué)生在二年級學(xué)的長度，度量的是線段（一條且狀態(tài)是直直的）。而周長呢，它度量的是一周的線的長，它的條數(shù)是不確定的，可能是1條、2條、3條……而且線的狀態(tài)也是不確定的，可能是直的，也可能是曲的，但兩者的本質(zhì)是一樣的都是度長。這樣學(xué)生定能恍然大悟，原來已經(jīng)學(xué)過了，只是更復(fù)雜一些，對周長的陌生感就少了，自然而然地將新知納入已有的知識體系。

周長與面積它們都屬于度量的范疇，二者大多共同存在于一個(gè)圖形之中，形影相隨，易造成認(rèn)知上的混淆。為了避免學(xué)生概念的混淆，老師們的殺手锏便是一組一組的練習(xí)，但最終的結(jié)果仍是不盡如人意。學(xué)習(xí)不是簡單的信息積累，更重要的是新舊知識經(jīng)驗(yàn)的沖突以及由此而引發(fā)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重組。筆者認(rèn)為在學(xué)習(xí)了面積的相關(guān)知識之后，教師要適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行類比，幫助學(xué)生建構(gòu)。

度量的核心是：度量對象、度量單位、度量值。為此，學(xué)習(xí)了面積后適時(shí)圍繞以下幾個(gè)要素：①度哪里？②用什么度？③怎么度？④如何確定結(jié)果？對周長與面積展開思考與交流，通過比較找到它們的聯(lián)系與區(qū)別，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)二者除了圖形的維度不同，作為一種測量其本質(zhì)是一樣，即包含多少個(gè)單位。正如華羅庚先生所說，學(xué)習(xí)的最高境界就是要學(xué)會“把書讀薄了”。

總的來說，對于周長與面積的教學(xué)，我們要緊扣概念的本質(zhì)，從學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)出發(fā)，設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓學(xué)生充分體驗(yàn)與感悟，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，真正理解概念，從而靈活運(yùn)用知識解決問題。及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行類比，深化概念，重組知識結(jié)構(gòu)，注重考查學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解與合理應(yīng)用，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

[1]朱德江.“學(xué)”與“導(dǎo)”應(yīng)著力于學(xué)習(xí)的“關(guān)鍵點(diǎn)”：“認(rèn)識面積”教學(xué)實(shí)踐與思考[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2016（3）.

[2]小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的大道理：核心概念的理解與呈現(xiàn)[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2018，348（10）：84.

作者簡介：黃雪梅，福建省建甌市，福建省建甌市教師進(jìn)修學(xué)校。