在數學探究中發展學生的邏輯推理素養

福建省閩清縣第一中學 (350800) 徐杰霞

《普通高中數學課程標準(2017年版)》(以下簡稱《標準》)指出：邏輯推理是從一些事實和命題出發，依據規則推出其他命題的素養.主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納和類比；另一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹.邏輯推理是得到數學結論、構建數學體系的重要方式，是數學嚴謹性的基本保證，是人們在數學活動中進行交流的基本思維品質.邏輯推理主要表現為：掌握推理的基本形式和規則；發現問題和提出命題；探索和表述論證過程；理解命題體系；有邏輯地表達與交流![1].課堂教學中，探究性教學是發展學生邏輯推理素養的重要途徑.下面筆者結合數學教學實踐，談談在探究性教學中培養學生邏輯推理素養的幾點體會.

1.在結論的產生過程中引導學生探究，發展邏輯推理素養

高中數學對于學生推理能力的培養是在特定的情境中，要求學生嘗試用數學的眼光去發現問題，解決問題.在課堂中，教師應提供素材，從知識產生和發展的切入點、思維的疑惑點精心創設問題，引導學生探索知識(概念、定理、公式等)的產生過程，讓學生經歷觀察、猜想、證明的過程，使他們在實質性的思維活動獲取數學知識，發展邏輯推理素養.

案例1 《普通高中新課程標準實驗教科書·數學5(必修)》“正弦定理”的推理

必修5“解三角形”，是將學生初中學習的解直角三角形內容延伸到解任意三角.如何引導學生自然而然地獲得“正弦定理”呢？下面是一次市級公開課的教學片斷.

教學片斷1提出問題，引導發現

問題1 在三角形中有大邊對大角，小邊對小角的邊角關系.我們是否可以得到邊、角之間的定量關系呢？

圖1

師：我們可以先從特殊的三角形入手研究三角形的邊角關系，大家想選擇哪一類三角形呢？

生1：直角三角形.

師：同學們回顧一下初中學過的直角三角形的邊角關系式.

師(追問1)：以上兩個等式有什么聯系？

師(追問2)：以上等式含有角A、B，若等式也含有角C，那就更完美了，大家有什么想法？

教學片斷2類比猜想，分析證明

師：以上等式對正三角形能否成立？對內角分別為30°,30°,120°的等腰三角形能否成立？(學生驗證成立)

(學生思考、討論、猜想.)

教師用幾何畫板演示，學生觀察：邊角的數據雖然在變化，但三組比值總是相等的，驗證了猜想的正確性.

圖2

師：怎樣證明對于任意三角形，以上結論也成立呢？

(學生探究)

師：思路清晰！圖2是銳角三角形,若ΔABC為鈍角三角形的情況，請大家完成.

圖3

問題3 請探究正弦定理的其它證明方法.(限于篇幅，略)

在課堂教學中，教師應鼓勵學生大膽、合理地猜想，這樣不僅有利于開發學生的智力，加速新結論的形成，而且能讓學生逐步掌握推理的基本形式，形成有論據、有條理的思維品質，發展學生的數學抽象、邏輯推理等核心素養.本課例從正弦定理產生的源頭出發，宏觀地提出問題，引導學生從特殊的直角三角形出發，探究邊角關系式，使定理的發現與證明水到渠成，學生在進行嚴謹的邏輯推理證明的過程中，體會到了特殊與一般、轉化與化歸、分類與整合等數學思維規律.這樣在教師的引導下“再發現“的過程，省力、省時且立意高遠，學生不僅得到了“正弦定理”，而且獲得了解決一類問題的基本思路(從特殊到一般，先猜想再證明的一般思路)，提高和發展了自身的邏輯推理和數學運算等核心素養.

2.在數學運用中引導學生探究，發展邏輯推理素養

培養學生的邏輯推理素養沒有捷徑，必須立足課堂，貫穿于數學課堂教學的全過程，循序漸進、日積月累.教師在引導學生發現結論并進行證明之后，為了鞏固新知，深化知識內涵，數學運用是課堂教學必備的一個重要環節.教師可設置一些恰當的問題，使概念、規律的運用過程成為學生主動思辯的過程，通過學生積極的、活躍的思維碰撞，促進學生對知識內涵更全面、更深刻的理解，促進知識能力的高效果正遷移，提升思維品質和解決問題的能力，發展邏輯推理素養.

案例2 《普通高中新課程標準實驗教科書·數學5(必修)》“正弦定理”的應用(第一課時)

問題1 在什么條件下可以用“正弦定理”解三角形？

生1：已知三角形的兩角和一邊，能用正弦定理求解其他的邊和角.

生2：已知三角形的兩邊與其中一邊的對角，也可以用正弦定理求解其他的邊和角.

問題2 已知ΔABC中，c=10,A=45°,C=30°,求a.

變式已知ΔABC中，c=10,A=45°,C=30°,解三角形.

師：以上解法正確嗎？

學生思考、討論.有的學生覺得是對的，有的認為不正確.

師：生4考慮問題很嚴謹，大家驗證一下以上兩解是否都滿足條件？

圖4

生5：如圖4所示，作CD⊥BA,D為垂足，在RtΔCAD中，CD=bsinA=3

師(追問)：能把它拓展到一般情形嗎？

問題4 已知a，b，∠A，解三角形，如何判定解的情況？

(學生躍躍欲試，又開始了探究.)

生6：如圖4，假設b≥a，當bsinA=a時，有一個解；當bsinAa時，無解.

師：總結得很到位！解三角形時，如果已知兩邊與其中一邊的對角，可以先判定解的情況.

學生對“正弦定理“的認識是在探究學習和運用過程中不斷發展的，因此在定理的運用階段，教師精心設置問題，對學生進行邏輯推理訓練，能培養學生的發散思維能力，培養學生分析、解決問題的能力，形成有條理、合乎邏輯的思維品質和嚴謹、求真的理性精神.

3.2 動物行為的獲得途徑 教師導言： 在我們生活的地球中，有數百萬種動物，有的翱翔天際，有的馳騁大地，有的潛行水底，每種動物都有其獨特的行為。它們的行為是如何獲得呢？

3.在解題的反思中引導學生探究，發展邏輯推理素養

著名數學家波利亞曾說過：“數學問題的解決僅僅只是一半，而更重要的是解題之后的回顧與反思.”在解決問題后，引導學生反思，這不僅僅是簡單的回顧或檢驗，更是對解題過程的深化與提高，能促使學生對問題的認識從感性層面上升到理性的高度，從而使學生的數學思維提升到由例及類的檔次，有助于創新思維的培養與創新能力的形成，發展邏輯推理素養.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)E、F是橢圓C上的兩個動點，如果直線PE、PF的斜率互為相反數，求證：直線EF的斜率為定值，并求出這個定值.

完成了本題后，教師有意識得引導學生對題目進行反思：

同學們也感到好奇，開始了探究.

反思3：橢圓有上述結論，雙曲線、拋物線會不會也有類似的結論？

學生經過探究，得到了如下性質：

由上述結論可以得到圓錐曲線統一的一個優美性質.

性質4 已知點A是圓錐曲線C上一個定點，點E、F是曲線C上的兩個動點，若點P和曲線C的一個焦點的連線與曲線C的對稱軸垂直，且kPE+kPF=0,那么|kEF|=e.

通過層層遞進式的反思，引導學生在探究中感悟、內化解題經驗，能使學生掌握的知識更具廣度和深度，使知識產生“連鎖反應”效應，并生成新的問題“生長點”，逐步培養學生運用數學抽象的思維方式思考并解決問題的良好習慣.

毋容置疑，數學邏輯推理素養的發展不可能是一朝一夕之功，而是一個持久的系統工程，教師應為學生數學核心素養的發展創設時空，引導學生親歷數學化的思維過程，感知數學魅力，從而積極主動參與數學學習活動，讓數學邏輯推理素養落地開花！