如何求解圓中的最值問題

福建省福安市第一中學 (355000) 張 忠

圓是最為理想化的平面幾何圖形，與圓有關的最值問題，可抓住圓的幾何特征，利用圓心和半徑協助解決，也可以運用代數中求最值的方法解決，下面舉例分析.

一、利用圓的性質

例1 已知M是圓(x-2)2+(y-1)2=1上的任一點，N是圓(x+1)2+(y+2)2=9上的任一點，求線段|MN|的最小值和最大值.

解析：由題意，M與N都是動點，但兩圓的位置是固定的，即兩圓的連心的長是定值，又圓的半徑是定值，所以線段|MN|的最小值即為兩圓的連心的長減去兩半徑的長；最小值即為兩圓的連心的長加上兩半徑的長.

評注：欲求線段|MN|的最值，由于M與N都是動點，必須找到兩點的極限位置，根據圓的幾何特征可知，動點M、N與兩圓心在一直線上才能滿足題意.

例2 已知P是直線3x+4y+8=0上的動點，PA、PB是圓x2+y2-2x-2y+1=0的兩條切線，A、B是切點，C是圓心，那么四邊形PACB的面積最小值為.

評注：由四邊形的面積最小問題轉化為兩點間距離最小問題，又進一步轉化為圓心到直線的距離.

二、運用二次函數

例3 求經過直線2x+y+4=0和圓x2+y2+2x-4y+1=0的交點且面積最小的圓的方程.

評注：運用圓系方程就可避免二元二次方程組的求解.本題還可以通過分析圓的性質，即以公共弦為直徑的圓面積最小，故而所求圓的圓心在弦所在的直線上，將圓心坐標代入直線方程可求出λ解題.

圖1

評注：解題中，通過設圓心O到直線l的距離為d，用d表示△ABO的面積S，考察此式的特點，構造二次函數求得最大值.

三、運用基本不等式

圖2

評注：本題中，理解“直線平分圓的周長“十分重要，是能否解題的關鍵，同樣，“直線平分圓的面積、弦所對的圓心角為120°”等條件需要從圓的幾何性質去思考.