例談一個重要不等式在北大夏令營測試中的應用

新疆烏魯木齊市教育研究中心 (830000) 趙愛華新疆生產建設兵團第二中學 (830002) 張國治

面對龐雜的知識體系和大量的模擬試題，如何針對競賽展開高效的針對性復習？通過對近幾年競賽試題的研究，筆者有一個很有趣的發現——試題各異，出題角度多變，但探源溯流，它們來源于同一個問題．我們可以把這類不斷衍生的題目稱為“題根”．那么如何尋找“題根”呢？將源于課本的題目進行提煉與升華形成結論，然后再將其廣泛應用于解題實踐中，這便是尋覓“題根”的不二法門了.這一過程意義非凡，因為茫茫題海中很多題目表面不同，但實質一樣(可歸結于同一個“題根”)．一個“題根”加工而成的結論，其功效不亞于教材中的一個定理.[1]筆者從一個重要的不等式出發，探源溯流，給出其在北大夏令營測試中的應用.

可以利用數學歸納法獲得證明，過程略.

下面以北大夏令營測試題為例談談此不等式的應用，追本溯源，以期拋磚引玉，凸顯回歸題根的重要性.

分析：本題標準解答是平方后用二次函數求最值，但倘若利用本文的結論便有如下簡潔明快的解答.

分析：本題標準解答是基本不等式求最值，但倘若利用本文的結論便有如下別開生面的解答.

分析：本題標準解答利用重要不等式獲解，但倘若利用本文的結論便有如下別具一格的解答.

例4 (2016年北京大學優秀中學生暑期學堂(綜合營)試題第3題)設a,b,c為實數，證明：當且僅當(a-b)2≥2c時，對任意實數x都有(x-a)2+(x-b)2≥c成立.

分析：本題標準解答是構造二次不等式利用判別式獲解，但倘若利用本文的結論便有如下別具一格的解答.

總之，研究“題根”對教學、命題和解題都有深遠的意義，變幻多端的數學題目猶如蔥郁繁密的樹葉.看似難以捉摸，實則息息相關，故而在研究問題時應撥開層層枝葉，尋其根源，以本見全.