探究一道極值點偏移問題*

江西省贛州市第三中學 (341000) 張曉輝 廖暑芃

一、考題呈現

(1)求函數f(x)的單調區間；

(2)若f(x1)=f(x2)=f(x3)(x1

這是江西省紅色七校2019年10月高三聯考理22題，題面簡潔，內容豐富，立意新穎，著重考察函數極值點偏移問題.題目以函數為背景，設問由淺入深，逐步推進，考察函數的單調性、最值及極值點偏移問題，體現了轉化化歸、數形結合等思想.問⑵解題入口寬，邏輯性強，淡化解題技巧，注重數學核心素養的考察，符合當前高考的命題方向.筆者對問⑵提出一些探究，供讀者參考.

二、解法探究

思路一:構造一元差函數(原解)

證明：由(1)知02.

結合①②得x3-x1<4.

思路二:構造對稱性一元差函數

證明：由(1)可得02.

評析:極值點偏移問題是近年各類考試中常見的一種題型，其基本的形式是x1+x2m或x1·x2m等.要證明x1+x2>2，只需證明x1與2-x2的關系即可.而x1與2-x2的關系可以通過f(x)的單調性判定，其思路可以視為雙變量問題的減元構造，兩個變量之間的關系是根據兩函數值相等進行構造.構造對稱性(一元)差函數是解決極值點偏移問題的通法，其一般步驟為：⑴通過函數f(x)的極值點x0構造函數F(x)=f(x)-f(2x0-x)或F(x)=f(x0+x)-f(x0-x)；⑵判斷函數F(x)單調性得出f(x2)與f(2x0-x1)的大小關系；⑶根據f(x)單調性得到x2與2x0-x1的大小關系，從而得到結論.

思路三: 利用ln2≈0.69，75=16807>16384=214

評析:目標明確，思路清晰，對放縮的尺度要求極高，難度之大，讓人望而生畏，極易半途而廢.

思路四:齊次化設參

評析:用x1,x2構建目標函數，通過增量換元，構造出新的變元，將兩個舊的變元都換成新的變元來表示，從而達到消元的目的.由此可見齊次化設參(差值或比值設參)是極值點偏移問題的又一解決策略.

思路五:對數平均不等式

證明：由(1)可得0

評析:運用對數平均不等式求解，是極值點偏移問題的有效解決方法之一.極值點偏移問題，多與指數或對數函數有關，轉化的關鍵幾步為：⑴根據f(x1)=f(x2)建立等式；⑵如果等式含有參數，通常先消參；如果等式中含有指數式，則往往先兩邊取對數，轉化為對數式；⑶通過恒變換轉化為對數平均數，再利用對數平均不等式進行放縮求解.