Bokov不等式的高維推廣與加強

江蘇省盱眙中學 (211700) 王 堯

1.引言

1966年E.A.Bokov給出了如下的不等式:

我們把上式稱為Bokov不等式.

事實上，在頂點集為{A1,A2,A3,A4}的四面體Ω中，設hi為頂點Ai(1≤i≤4)所對面上的高，r為內切球半徑,不難得出

等號成立當且僅當四面體Ω為正四面體.

本文主要是將上述不等式推廣到n維歐氏空間Rn中去，并對不等式作系數上的新的推廣，同時再給出它們的加強形式.

2.預備知識

定義[4]設Ω為n維歐氏空間Rn中的單形，其頂點集為A={A1,A2,…,An+1}，設P為n維歐氏空間Rn中的單形Ω所在空間中的任意一點，d1為點P到Ω的頂點Ai所對的界面的有向距離，又Ai所對界面上的高為hi(1≤i≤n+1)，則點P的重心坐標為

3.主要結果及其證明

由Cauchy不等式[2]可得

推論1 在定理1的條件下，分別取n=2,n=3時,有

由拉格朗日恒等式[4]可得

推論2 在定理2的條件下，取λ=n,α=1,即為定理1結論.

再由Jensen不等式[3]，則有