多解型作業講評的案例與反思*

福建省上杭一中 (364200) 張 露 陳玉生

多解型作業講評對發展學生思維能力有直接效應，教師要正確處理好講與評的關系，做到既“講解”又“點評”,才能使數學知識的“聯”與思維方式的“變”有機結合起來，有效提高不同層次的學生的變通能力，學會更加自然理性地思考，真正實現“授人以漁”.但不少教師對作業講評教學的目的、價值等把握不準，忽視解題的優化功能，讓一題多解教學偏離初心，是一個值得大家深思的問題.

一、案例展示

定義域為D的函數f(x)，若滿足條件：①函數f(x)在D上是單調函數；②存在區間[a,b]?D，使得f(x)在[a,b]上的值域是[a,b]，則稱函數f(x)為“成功函數”．

(1)判斷函數f(x)=2x-1是否為“成功函數”？若是，求出滿足條件的a與b的值；若不是，說明理由；

本題是高三一輪復習月檢測題，第(1)題得分率高，第(2)題做得很不理想.在講評教學中，筆者試著從學生錯解入手，通過修正和優化，打通知識聯系.

(一)展示錯解，探究錯因

可求得t>0.

教師：請同學們思考并討論該解答錯在哪里？

教師：能具體解釋一下嗎？

(二)矯正錯誤，獲取正解

教師：說得好！同學們能否對其矯正呢？

此不等式組無解.

教師：該同學從方程的角度切入，利用了分類討論的思想矯正了生1的錯誤，值得表揚！但求解過程比較繁，是否有可優化之處？

(三)聯系變通，發現巧解

生3：可以避免分類討論.

教師：兩位同學對方程根的問題作了深入的分析，通過逐步優化，矯正錯解，優化正解，充分展現了他們良好的數學功底.

(四)深挖本質，發掘簡解

法3：方程(x-t)2=2x-1在x≥t時有兩個不等的實數解，必須滿足

學生：此法太簡捷了！

(五)多元表征，探尋多解

圖1

教師：方程與函數是高中數學的重要知識，它們之間存在密切聯系.能否從函數角度對此問題重新表述一下呢？

生5：老師，本題還能從形的角度觀察求解.

圖2

教師：以上從方程與函數的角度切入，利用數形結合思想，不但糾正了錯解，還獲得了正解、巧解、簡解等多種不同解法.其中，法1利用了方程根的分布情況，它是解決此類問題的基本方法，法2雖然進行了優化，避免了分類討論，但計算量仍然較大；法3充分挖掘了題目的隱含條件，是本題的創新解法；法4和法5充分體現了方程與函數之間的內在聯系，法4最簡捷，轉化為學生熟悉的二次函數知識，是學生易接受的一種好方法.

二、教后反思

(一)注重通法、彰顯聯系是多解型作業講評的關鍵點

多解各顯精彩，聯系更顯“自然”.多解型作業講評不能過分追求方法的數量、強化特殊的技巧，而應注重通性通法，并在各種解法之間呈現知識的聯系，以及這些聯系構建的過程，讓學生習得結構化的數學知識.本案例在通法1的基礎上，聯系所學相關知識，拾級而上，逐步優化，讓方法自然獲得.只有實現以知識為載體的自然聯系，方法才能水到渠成.注重通法、彰顯聯系才是好的數學解題教學.

(二)深挖本質、多元表征是多解型作業講評的策略點

問題的表征能力直接影響解題.教師要引導學生追本溯源，深挖本質，多元表征，才能將問題靈活變通.法2的“巧”和法3的“簡”只是表象，它的本質仍然是基于法1中方程根的分布情況，法5的求解也源于法4方程與函數的思想，讓通解、巧解、簡解之間實現了溝通！只有不斷提高學生對問題的表征能力，才能讓其用更高的觀點，更廣的視野，更理性的眼光去變通數學問題的思考方式，讓數學解題絕處逢生、左右逢源.

(三)善待錯誤、變錯為措是多解型作業講評的突破點

學生錯誤是學生的原發思想，貼近學生的能力和思維，只不過是認識上產生的偏差.與教師給出的“奇思妙解”相比，它更能激發學生的問題意識和探究欲望，有效拓寬了多解的來源渠道.本案例中，教師沒有急于拋出自己的思路將其強加給學生，而是從學生的典型錯誤出發，聯系相關知識，逐步優化，變錯為措，從而獲得正解、巧解、優解、簡解，充分挖掘了錯誤的潛在價值，讓學生在“誤中悟，思中醒”.關注學生所思所惑的解法更易被學生接受并遷移，更能有效提升學生的變通能力.

(四)優化思維、發展智能是多解型作業講評的著力點

多解型作業講評不能止于完成解題，要著力提升學生的思維能力，延伸解題思維的長度，避免“解法展覽”現象.本案例在5種方法講解后，教師能引導學生進行各種解法的對比與評價，讓學生明白哪些是通性通法、哪些是最優解法、哪些是最合理解法、哪些解法本質是一樣的．讓學生在比較中深化認識、優化思維、固化優解，學會今后處理此類問題時靈活選擇方法，真正快速地一題一解！而不至于走入一題多解的迷霧．

(五)培養思想、提升素養是多解型作業講評的歸宿點

數學思想方法影響思維的方式.要提升學生善于變通問題的思考能力，須關注解法是否反映出數學問題的本質，能否體現出不同數學思想方法的運用．本案例5種方法緊緊圍繞方程與函數思想，數形結合思想展開，在多解探究中讓學生洞察其背后的深刻與必然，感受使用思想方法解題的魅力，只有從問題中尋找解題的更高背景，從思想層面去引領，才能將學生的思維觸角延伸到更深的層次、更廣的方向.這對提升學生的數學素養，學科思維的發展大有好處，真正讓學生終身受益.

多解型作業講評要以學生的能力為基點，學生的發展為指向，學生的活動為依托，彰顯解題的優化功能，才能聯系更多知識，變通思維方式，遷移解題方法，讓學生成為解題的智者.