“錯解題”的“分類歸因”*

江蘇省睢寧縣第一中學 (221200) 貢蘇丹 武瑞雪

當代科學家、哲學家波普爾說“錯誤中往往孕育著比正確更豐富的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造因素.”“錯解題”后，學生若能及時自行“悟”出各類“錯因”，并及時“記錄在案”，而教師又能根據(jù)作業(yè)或試卷批改中搜集到的學生錯誤，在課堂教學中進行必要的“分類歸因”，定能充分挖掘“錯解題”的教學價值，起到事半功倍之效.學生“錯解題”的主要錯因有：

1.不重視基礎(chǔ)、書寫不規(guī)范

案例1 (1)角α，β的終邊關(guān)于y軸對稱，若α=30°，則β=.

剖析：出現(xiàn)以上錯解，主要是學生不重視基礎(chǔ)知識，不重視課本，不重視書寫的規(guī)范性.課本應(yīng)是基礎(chǔ)知識的源頭，其中的例題具有典型性、示范性、資料性，只要在平時的學習中做到課前看，課后看，平時看，考前看，用心看，這樣就一定能把基礎(chǔ)打牢，做題時也一定會書寫準確、規(guī)范.但是，調(diào)查及實踐都表明，有些學生好高騖遠，輕視課本，在基礎(chǔ)知識還沒記熟的情況下，就去盲目做題，結(jié)果常因書寫不規(guī)范或用錯公式而做錯題，致使學習效率低下.

事實上，這兩題的正確答案應(yīng)為：

2.思維不嚴謹

剖析:上述解題過程不夠嚴密、嚴謹，導(dǎo)致雖懂基礎(chǔ)知識，卻做錯了題.事實上，式子①n≥1，式子②中n≥2，故式子③和④中n≥2，因此，應(yīng)驗證n=1是否滿足④式.

3.不擅于等價轉(zhuǎn)化

調(diào)查發(fā)現(xiàn)，部分學生解題時，經(jīng)常出現(xiàn)因某一步轉(zhuǎn)化的不等價，造成前功盡棄，不得分或得分極低的情況.

案例3 設(shè)f(x)=x2-6x+1，問a取何值時，方程f(sinx)=a-5sinx在[0，2π)上有兩解？

生眾：設(shè)sinx=t，又x∈[0，2π)，所以t∈[-1，1]，因為方程f(sinx)=a-5sinx在[0，2π)上有兩解，所以關(guān)于t的方程t2-6t+1=a-5t在[-1，1]上有兩解，即關(guān)于t的方程t2-t+1=a在[-1，1]上有兩解.

圖1

剖析：調(diào)查到的考查結(jié)果顯示部分學生給出上述錯誤解法，究其原因，主要是換元后進行了不等價轉(zhuǎn)化.

圖2

正解：設(shè)sinx=t，又x∈[0，2π)，如圖2，得t∈[-1，1].

4.不擅于反思

解題后反思，利于總結(jié)經(jīng)驗、完善認識、提高能力、形成技能技巧，利于促進思維更加縝密、完善和優(yōu)化，利于培養(yǎng)批判性思維品質(zhì)，利于避免“題海戰(zhàn)術(shù)”及“教師一講就會，自己一做就不會或做錯”的現(xiàn)象發(fā)生.

但是，調(diào)查顯示，很多學生在解題中或解題后沒有反思的自覺性，從來不主動反思解題時考慮是否有疏漏？是否出錯？用到哪些基礎(chǔ)知識、基本方法？為什么要這樣做？不去反思是否有更簡捷、更優(yōu)美的解題方法？沒有錯題本，沒有“逢錯則記”的習慣，失去很多有用的“錯誤資源”，導(dǎo)致老錯誤重犯，學習效率低下.

有了上述的反思過程，學生印象會深刻得多，如學生能及時記錄，并經(jīng)常翻看復(fù)習，則再遇此類問題時，定能有意識地規(guī)避錯誤，并順利解之.養(yǎng)成閱讀教材或教輔書上的例題解答之后及時反思的習慣，可有效避免“例題讀得懂，題目一變就不會”的現(xiàn)象發(fā)生．

5.不擅于分類討論

案例5 若cn=4n+(-1)n-1λ·2n+1(λ為非零整數(shù)，n∈N*)，試確定λ的值，使得對任意n∈N*，都有cn+1>cn成立.

正解：因為cn=4n+(-1)n-1λ·2n+1，所以要使cn+1>cn對任意n∈N*恒成立，即cn+1-cn=4n+1-4n+(-1)nλ·2n+2-(-1)n-1λ·2n+1>0對任意n∈N*恒成立，所以3×4n-3(-1)n-1λ·2n+1>0對任意n∈N*恒成立，即(-1)n-1λ<2n-1對任意n∈N*恒成立①.

(ⅰ)當n為奇數(shù)時，即λ<2n-1恒成立，當n=1時，2n-1有最小值1，所以λ<1.

(ⅱ)當n為偶數(shù)時，即λ>-2n-1恒成立，當n=2時，-2n-1有最大值-2，所以λ>-2.

綜合(ⅰ)、(ⅱ)，得-2<λ<1，又λ為非零整數(shù)，則λ=-1，所以存在λ=-1，使得對任意的n∈N*，都有cn+1>cn.

點評:檢測之后，進行試卷分析發(fā)現(xiàn)，部分學生因缺乏分類意識，做到步驟①時，不知如何繼續(xù)下去；另有一部分學生在分類討論之后，不會歸納總結(jié)，遺憾作罷；還有一部分學生，綜合(ⅰ)、(ⅱ)，誤得λ∈R.事實上，分類討論后，最后的歸納總結(jié)常有以下三種情況：

(1)并集型：如“已知函數(shù)f(x)=(k2-1)x2+2(k-1)x+1的圖象全在x軸的上方，求k的取值范圍”，應(yīng)按k2-1=0和k2-1≠0分類討論，而兩類的結(jié)果k=1和k>1，都符合題意，故最后結(jié)果應(yīng)取各類中k取值集合的并集，得{k|k≥1}；

(2)交集型：如上述案例5，將n按奇數(shù)、偶數(shù)分類討論，兩類結(jié)果中λ取值的公共部分才是符合題意的，故取交集；

學生“錯解題”的原因很多，限于篇幅不能窮盡.教學中，教師可以通過作業(yè)或試卷批改“分類”集中來自學生的“典型錯誤”，階段性地開設(shè)“糾錯課”，讓學生自行糾錯或相互糾錯，培養(yǎng)學生批判性思維能力以及質(zhì)疑的習慣，讓學生意識到“反思透一道錯題的錯因”要比“解出一道正確的題目”更有價值.