一個(gè)分式不等式的進(jìn)一步探究

重慶三峽學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 (404000) 蘭晨曦 黃 浩 陳曉春

文[1]利用柯西不等式和冪平均不等式給出了(2)的證明，本文將利用廣義權(quán)方和不等式的特例.，即下述不等式(*)和冪平均不等式對(duì)(2)給出更簡(jiǎn)捷的證明，并對(duì)(2)作進(jìn)一步的探究.

為證明不等式(2)，引用不等式(其證明見文獻(xiàn)[3]中定理3)：

從而，不等式(2)成立.

上述證明的思路是：直接應(yīng)用不等式(*)，因而不需任何技巧，同時(shí)從證明過(guò)程可以看出，只要(x+y+z)-(xn+1+yn+1+zn+1)不變，其證明過(guò)程是一樣的，因此有：

探究1 將分母的順序適當(dāng)重排，其結(jié)論仍然成立，于是可得到如下與不等式(2)結(jié)構(gòu)類似的不等式.

探究3 若將分母的每一項(xiàng)添加系數(shù)，則有如下推廣的不等式.

探究4 若將分子疊加，則有推廣的不等式.

顯然，對(duì)分母項(xiàng)的擴(kuò)充及順序重排不止上述幾種，進(jìn)一步擴(kuò)充及重排將得到更多的不等式，有興趣的讀者不妨一試.另一方面從不等式(2)的證明可以看出，利用不等式(*)可將不等式(2)進(jìn)一步推廣.

特別地，當(dāng)p=3時(shí)，有不等式:已知x,y,z,n∈R+，m≥2，且x+y+z=S，求證：

同前面不等式(2)的探究一樣，如果對(duì)不等式(3)，(4))的分母的項(xiàng)進(jìn)行適當(dāng)?shù)闹嘏偶白兪剑傻玫皆S多新的不等式，在此不再贅述.