活躍在高考數(shù)學(xué)中的權(quán)方和不等式

四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 (610068) 紀(jì)定春華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 (510631) 蔣紅珠

1.權(quán)方和不等式

權(quán)方和不等式是一種重要的不等式，在解決分?jǐn)?shù)型高次不等式最值中占有重要的地位．它將向量不等式、柯西不等式及其變異形式統(tǒng)一起來，是一種結(jié)構(gòu)對(duì)稱、形式優(yōu)美的重要不等式．

注：此處不給出該不等式的證明方法，不再指出本文例題中不等式取等條件．

2.權(quán)方和不等式在高考數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

例1 (2013新課標(biāo)理科卷Ⅱ第24題)設(shè)a，b，c為正數(shù)，且a+b+c=1，證明：

點(diǎn)評(píng)：該題形式簡(jiǎn)單，但是具有豐富的內(nèi)涵，如對(duì)稱的思想、循環(huán)的結(jié)構(gòu)、簡(jiǎn)明的條件等．可以有效的考查高考考生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力．

例2 (2019年高考數(shù)學(xué)理科卷Ⅰ第23題)設(shè)a，b，c為正數(shù)，且滿abc=1．證明：

(Ⅱ)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24．

思路分析：?jiǎn)栴}(Ⅰ)較為簡(jiǎn)單，不等式兩邊同時(shí)乘abc=1，解決方法同例1的問題(Ⅰ)．對(duì)問題(Ⅱ)，這是一個(gè)含有輪換對(duì)稱結(jié)構(gòu)的3階“齊次”式，可用問題(Ⅰ)進(jìn)行整體代換證明不等式成立，但運(yùn)算過程比較復(fù)雜，放縮技巧較高．注意到不等式的結(jié)構(gòu)對(duì)稱，且全部的次數(shù)都是3次，故考慮恒等變形構(gòu)造分母(同時(shí)乘以1的平方)，使其結(jié)構(gòu)與權(quán)方和不等式結(jié)構(gòu)相統(tǒng)一．

點(diǎn)評(píng)：利用權(quán)方和不等式的好處在于能夠有效的解決高次求和的最值問題，題目中提供的條件abc=1恰好可以與a+b+c建立起關(guān)系，所以用這個(gè)方法解決這類題目更加簡(jiǎn)單有效．

例3 (2017年高考理科卷Ⅱ第23題)已知a>0，b>0，a3+b3=2，證明：

(Ⅰ)(a+b)(a5+b5)≥4；

(Ⅱ)a+b≤2．

思路分析：?jiǎn)栴}(Ⅰ)略．對(duì)于問題(Ⅱ)，注意條件中有三次結(jié)構(gòu)“a3+b3=2”，那么如何建立它與結(jié)論“a+b≤2”之間的關(guān)系呢？顯然可以使用3階權(quán)方和不等式來建立兩者之間的聯(lián)系．

解析：?jiǎn)栴}(1)略．

點(diǎn)評(píng)：該題充分的利用了式子“a3+b3”的恒等變形，將其恒等變形為一個(gè)分?jǐn)?shù)結(jié)構(gòu)，然后利用權(quán)方和不等式證明不等式．解決問題，就是要找到條件通往結(jié)論的路徑．此題表明要有效的解決問題，關(guān)鍵在于要充分的利用好已知條件和結(jié)論之間的結(jié)構(gòu)及之間的關(guān)聯(lián)．

例5 (2019年高考數(shù)學(xué)理科卷Ⅲ第23題)設(shè)x，y，z∈R，且x+y+z=1．

(Ⅰ)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值；

思路分析：這道題的解決方案有很多種，如幾何法(球與平面相切)、向量法(構(gòu)造向量不等式)、三元不等式法、柯西不等式法(配湊出對(duì)稱結(jié)構(gòu))、權(quán)方和不等式法等，此處只用權(quán)方和不等式法．問題(Ⅱ)為問題(Ⅰ)的逆向應(yīng)用，此處不再分析和解答．

(Ⅱ)略.

點(diǎn)評(píng)：權(quán)方和不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)中重要的不等式，是解決多元最值的有效工具，特別是在初等數(shù)學(xué)競(jìng)賽中經(jīng)常使用．

3.問題推廣

張景中院士曾經(jīng)指出：“推廣是數(shù)學(xué)研究中極重要的手段之一，數(shù)學(xué)自身的發(fā)展在很大程度上依賴于推廣．?dāng)?shù)學(xué)家總是在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上，向未知的領(lǐng)域擴(kuò)展，從實(shí)際的概念及問題中推廣出各種各樣的新概念、新問題．”[1]推廣的過程就是將一個(gè)問題一般化的過程，將一個(gè)問題進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐茝V，可以將這類問題搞清楚．同時(shí)也是培育學(xué)生發(fā)散性(創(chuàng)造性)思維的好方法．下面對(duì)例題5進(jìn)行推廣，使這一類問題得到解決．

推廣1 設(shè)x，y，z∈R，且x+y+z=2，求(x-1)3+(y+1)3+(z+1)3最小值．

點(diǎn)評(píng)：將所求的目標(biāo)函數(shù)的冪進(jìn)行了推廣，求解的方法同思路1，此處不再給出具體解答過程，可得最小值為3．

推廣2 設(shè)x，y，z∈R，且x+y+z=m，其中n∈Z+，求(x-1)n+(y+1)n+(z+1)n最小值．

推廣4 已知x，y，z∈R，x+y+z=m，n∈Z+，且a，b，c為任意的常數(shù)，求(x+a)n+(y+b)n+(z+c)n的最小值．

點(diǎn)評(píng)：推廣6是在推廣5的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，將冪一般化處理，解決方法同推廣5．