要學(xué)會(huì)抓住數(shù)量關(guān)系證垂直

浙江師范大學(xué)附屬中學(xué) (321004) 周建平

在一些立體幾何問題中，如果已知較多的數(shù)量關(guān)系，若能將條件轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，可通過計(jì)算利用勾股定理的逆定理證明兩線段垂直，下面舉例介紹此法的運(yùn)用，僅供參考.

一、證明直線與平面垂直

例1 如圖1，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥側(cè)面BB1C1C，已知BC=1，BB1=2，∠BCC1=60°，求證：C1B⊥平面ABC.

圖1

點(diǎn)評：在尋找垂直關(guān)系時(shí)，抓住所給的數(shù)量關(guān)系逆用勾股定理是一個(gè)非常明智的思路，關(guān)鍵是確定在那一個(gè)三角形中解決問題.

例2 如圖2，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是BB1的中點(diǎn)，O是底面ABCD的中心.求證：OE⊥平面ACD1.

圖2

點(diǎn)評：正方體和正四面體等是一些特殊的幾何體，有許多的數(shù)量關(guān)系，利用好這一點(diǎn)，簡化思維，直接應(yīng)對.

二、證明面面垂直

圖3

點(diǎn)評：證明面面垂直的關(guān)鍵是證明線面垂直，利用線面關(guān)系找到一個(gè)直角三角形也是其中的重要環(huán)節(jié).

例4 如圖4，在矩形ABCD中，AB=2BC=2，E為AB上一點(diǎn)，將B點(diǎn)沿線段EC折起至點(diǎn)P，連接PA,PC,PD，取PD的中點(diǎn)F，若有AF∥平面PEC.(1)試確定E點(diǎn)位置；(2)若異面直線PE、CD所成的角為60°，并且PA的長度大于1，求證：平面PEC⊥平面AECD.

圖4

點(diǎn)評：本題中要證明面面垂直，若能證出PM⊥平面AECD就行了，而證明線線垂直的關(guān)鍵是證明PM⊥AM，通過計(jì)算邊的長度使這一問題化解了，體現(xiàn)了抓住數(shù)量關(guān)系的重要.

三、證明線線垂直

例5 如圖5，在平行四邊形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2,AD=4,將△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EDB⊥平面ABD.求證：AB⊥DE.

圖5

證明：在△ABD中，由于∠DAB=60°，AB=2,AD=4，根據(jù)余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos60°=12，則有AB2+BD2=AD2，于是AB⊥DB.又平面EDB⊥平面ABD，平面EDB∩平面ABD=BD，AB?平面ABD，則AB⊥平面EBD，而DE?平面EBD，故AB⊥DE.

點(diǎn)評：在已知兩個(gè)平面垂直條件時(shí)，首要任務(wù)是將其轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后就有線與線垂直，從而求面積、體積等問題就順暢了．

例6 如圖6，在空間四邊形V-ABC中，底面ABC為正三角形，且VA=VB=VC=AB，又VO⊥底面ABC于點(diǎn)O，M是VO的中點(diǎn)，連MA、MB、MC.求證：MA、MB、MC兩兩互相垂直.

圖6

點(diǎn)評：本題的證明是通過計(jì)算得到的線與線垂直，雖然比較繁瑣，但方法直接，目標(biāo)明確，若非要用線面關(guān)系來證，可能難有有效的證題思路．