連續(xù)化簡 多角度解決問題
——一道試題的講評歷程

江西省萍鄉(xiāng)中學 (337000) 賀 江

一、問題的提出

高一年級《解三角形》教學之后，有如下一道解三角形試題：

本題主要考查正弦定理、余弦定理的綜合應用以及三角函數(shù)恒等變形能力.學生感覺本題難度較大，得分率極低.班級40位學生只有6位同學選對，其中只有3位同學能正確地說出解題思路及過程，遠遠低于教師的預期.筆者思考，學生解題過程可能存在一些誤區(qū)，基于這個想法，筆者課前對學生的解題思維過程進行了調查，要求做對的幾位學生寫出他們的詳細解題過程，未做對的幾個學生也事先了解了他們的一些解題思路及困惑，了解思維受阻的原因.

解法1:原等式用誘導公式變形可得(a+c)sinA-bsinB=0(1).相當一部分同學由正弦定理“邊化角”得sinA·sinC=sin2B-sin2A(2).

大部分同學做到此式就進行不下去了.

感悟:至此，問題已經解決，但是無疑此解法難度較大，對于大多數(shù)學生來說不能推廣這個解法，這個當然也不是最理想的解法，必須要從另外的角度來分析.

二、另辟蹊徑，一題多解

老師展示完上述解法，提醒學生對于(1)式，除了由正弦定理“邊化角”之外，還有什么想法？

學生1：還可以根據(jù)正弦定理“角化邊”為下式a2+ac-b2=0(4).

教師：(4)式可以聯(lián)想到什么？

學生2：對(4)式的處理很容易聯(lián)想到余弦定理，把“a2-b2”或“ac”與余弦定理中的“cosB”聯(lián)系起來.

幾分鐘后.學生2給出以下解法：

教師：解題的思考過程是一個連續(xù)化簡的過程，即在充分研究和運用題目本身的特征提供的信息，聯(lián)系已學知識，在完全合邏輯的前提下進行連續(xù)化簡，一直到所得新題成為一項基礎知識為止的過程.此解法正是聯(lián)想到(4)式中式子的特征和余弦定理的關系進行連續(xù)合理的化簡.

學生3：對(4)式的處理還可以聯(lián)想到“a2-b2”與余弦定理“cosA”的關系.

學生4：直接利用余弦定理的另外一種形式，解法2和解法3都可以進行簡化.

解法4:由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,代入(4)式整理得ac=c2-2accosB,即a=c-2acosB(5).由正弦定理上式為sinA=sinC-2sinAcosB=sin(A+B)-2sinAcosB=sinBcosA-cosBsinA=sin(B-A).以下同解法1.

解法5：由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,代入(4)式得ac=2bcosA-c2,即a=2bcosA-c(6).以下同解法3.

教師：(5)式和(6)式可以聯(lián)想到銳角三角形中的什么定理？

學生5：由(5)式和(6)式可以聯(lián)想到銳角三角形中的射影定理.

解法6：由銳角三角形中的射影定理得c=acosB+bcosA.結合由(5)式或(6)式，化簡即a=bcosA-acosB.由正弦定理可化為sinA=sinBcosA-sinAcosB=sin(B-A).以下同解法1.

感悟:數(shù)學教師在實施課堂教學的過程中，要讓學生能夠把自己所學的所積累的解題經驗總結并加工，并讓它保存在自己的記憶當中，當遇到一個新的問題時，能夠辨識它是屬于哪一類基本問題，聯(lián)想到這個已經解決的問題，以此為索引，在腦子里提取出解決這個問題的方法，為學生構建一條“從具體到抽象，從個別到一般，由此及彼”的思維通道，這一策略體現(xiàn)了“轉化與化歸”的重要的數(shù)學思想方法.