例析曲線公切線下的函數零點問題

江蘇省海門中學 (226100) 徐巧石

一、問題提出

曲線在某一點處的切線，作為引入導數概念的背景，以及導數的幾何意義貫穿在導數及其應用這一章節.在高考中經常出現與曲線的切線相關的考題,從求切線的方程，到已知切線方程，求相關的值與最值，再到近幾年出現了以曲線的公切線為背景的問題.

看似是切線問題，經過轉化后實際為已知方程的解的個數求參數的取值范圍問題，方程的解又可轉化為函數的零點問題.函數的零點作為函數的性質，體現了函數與方程的思想，因此在高考中經常考查，從討論函數的零點個數，到已知零點個數求參數的范圍，再到近兩年看似函數的切線問題實則轉化之后為函數的零點問題，將零點問題隱藏于背景之中，考查學生轉化與化歸的能力，關注學生的數學抽象、邏輯推理等數學核心素養.

二、問題解法

下面從基本思路出發，通過轉化條件，化為常規問題解決引題.

圖1

基本思路：曲線的切線問題抓住切點，因為切點既在曲線上又在切線上，且函數在該點的導數值為切線的斜率，所以先確定切點，切線.如圖1，要使得存在滿足條件的切線，則該切線與兩曲線切于不同的兩點.

圖2

轉化：這樣的直線有且僅有兩條，轉化為a=

進一步思考：若此題改為解答題，則數形結合的方式有不得分的點，需要對問題再轉化，a=

三、問題的分類

1.兩條曲線的切線切于同一點

分析：(1)只需說明方程組無解即可；(2)由已知建立方程組，解方程組即可得；(3)兩個參量分各處理解方程組.

反思:此題3問有3個不同的函數背景，(1)是一次函數與二次函數不含參數；(2)是對數函數與二次函數含有1個參數；(3)是指數函數與二次函數且含有3個變量.3問將高中常見的函數融合為一題，且層層遞進，對學生思維的考查逐問提高，是難得的好題.第3問中有3個變量滿足?a>0,?b>0,?x>0,使得方程組成立，多變量問題的處理采用各個擊破的策略，先處理容易解決的，如題中先轉化為a與x的方程有解，即構造三次函數證明存在零點，再建立b與x的關系，說明b>0.

2.兩條曲線的切線切于兩點

分析：找到y=ex上的切點，是解決的關鍵，指數式與對數式的互化是處理的技巧.

分析：本題為例2的一般情形，處理的關鍵是消元構造函數，轉化為函數存在零點.

圖3

四、問題的拓展

分析：(思路一)設切點，求出切線，兩直線重合，建立方程組；(思路二)利用兩切點求出斜率與求導得到斜率建立等式.

反思：法一的關鍵是消元構造方程，換元轉化為函數零點；法二的關鍵利用斜率相等構造齊次式，換元化為函數的零點.

五、問題的啟示

1.關注高考真題，研究命題動向

學生要善于解題，作為教師更要善于解題.每年的高考真題，都是經過命題專家經過精心構造，巧妙設計的好題，很有研究的價值.研究真題的背景、考點、解決策略，探尋命題的方向，對于高三復習有一定的幫助.例如上述2019年全國Ⅱ卷理20題與2018年天津卷20題本質為同一類型.

2.關注基本思路，研究等價轉化

新課程標準中關于高考命題的原則：考查內容應圍繞數學內容主線，聚焦學生對重要數學概念、定理、方法、思想的理解和應用，強調基礎性、綜合性；關注數學本質、通性通法，淡化解題技巧；融入數學文化.因此在教學的過程中要關注問題處理的基本思路，建立等價命題系統，將綜合性問題靈活轉化化歸問基本題型，常見結構.

3.關注課堂生成，研究探究價值

課堂是教學的主陣地，在課堂中要給學生充足的時間思考、對問題進行聯想，尋找題目背后隱藏的基本概念，基本思想、基本模型.基礎是發展的“根”與“本”，根深才能葉茂.課堂有生成說明學生在思考，思維在提升.高考題的題源來于教材，往往是教材某些概念的深化，例題的推廣，因此在課堂中要重視習題，聯系教材概念、例題，進行適當的探究推廣，對學生的思維發展大有裨益.