旋轉矢量法在簡諧振動中的應用

【摘 要】本文通過實例，介紹了在處理簡諧振動相關問題時運用旋轉矢量法能夠將一些復雜的運算轉化為幾何問題，從而簡化問題，提高學生解決問題的效率。

【關鍵詞】簡諧振動;旋轉矢量;相位

簡諧振動中一個重要的知識點是簡諧振動方程，學生在求解過程中最常用的是解析法，將已知條件代入方程，求解各個物理量。但是用這個方法求解初相時學生往往會判斷不準，易出問題，從而覺得這是較難的一個知識點。而在教學中往往不可少的方法為旋轉矢量法，這種方法，能有效幫助學生理清各物理量之間的相互關系和意義，還有助于簡化簡諧振動研究中的相關數學處理，便于計算[1]。

1? ?旋轉矢量法

如圖1所示，自軸的原點處作一矢量，并使其繞原點做角速度的勻速逆時針方向旋轉。設在時，矢量的矢端在位置，與的夾角為;在時刻，矢量的矢端在位置。此時與的夾角為，矢量在軸上的投影為，它恰是沿軸作簡諧振動的物體在時刻相對于原點的位移。因此，旋轉矢量的矢端在軸上的投影點的運動，可表示物體在軸上的簡諧振動。

由此，將旋轉矢量與簡諧振動的各物理量進行對比，如下。

矢量的長度相當于振動的振幅。

矢量逆時針旋轉的角速度相當于振動的角頻率。

在時刻，矢量與軸正方向的夾角相當于振動的初相。

在時刻，矢量與軸正方向的夾角相當于振動的相位。

2? ?旋轉矢量法的應用

2.1? 求初相

初相反映了物體的運動狀態，是決定初始時刻振動物體運動狀態的物理量。運用旋轉矢量法，只需要找出該矢量在時刻，其與軸正方向的夾角，即該振動的初相[2]。

例1 一振子沿軸作振幅為，角頻率的簡諧振動，若初始狀態分別為①;②，且正向運動;③;④，且正向運動。求不同狀態的初相位。

解：根據題意，畫出初始時刻各旋轉矢量，如下圖2所示。

按照旋轉矢量圖及幾何運算可得。

（1）時，該旋轉矢量與軸正方向重合，所以。

（2）時，該旋轉矢量矢端的投影點在處，可判斷出該旋轉矢量的矢端位于第一或第四象限，由于處于正向運動狀態，可判斷出該旋轉矢量的矢端位于第四象限，由，根據幾何關系，可得。

（3）時，該旋轉矢量與軸負方向重合，所以。

（4）時，該旋轉矢量矢端的投影點在處，由于處于正向運動狀態，可判斷出該旋轉矢量的矢端位于第三象限，由，根據幾何關系，可得。

由以上例題可知，運用旋轉矢量法求簡諧振動的初相非常便捷。

2.2? 判斷同一運動兩種運動狀態所需要的時間

在給出旋轉矢量定義時，規定其矢量是按逆時針勻速的轉動，因此運用旋轉矢量法能很方便地判斷出同一簡諧運動從一種運動狀態變化到另一種運動狀態所需要的時間[2]。

例2 一諧振子，其振幅為，周期為，從的位置分別運動到的位置和平衡位置，所用最短時間分別為多少？

解：根據題意，先畫出如圖3所示的運動矢量圖，進而判斷出旋轉矢量的初始位置位于第四象限，所需要的最短時間可根據公式及，得和。

3? ?結束語

由以上案例可知，在處理簡諧振動的過程中使用旋轉矢量法，能夠使簡諧振動過程變得十分簡單、易懂、易于計算和掌握。因此教師在教學中，除了對簡諧振動的理論內容進行講授之外，還更應該注重學習方法的講解和訓練，使學生能夠使用較簡單的方法去理解和掌握相關知識點，提高學生的學習效率。

【參考文獻】

[1]馬文蔚，周雨青.物理學簡明教程[M].北京：高等教育出版社，2018.

[2]柯堯.旋轉矢量法在振動與波中的應用[J].物理通報，2015（8）.

【作者簡介】

解振平（1983～），女，漢，河南周口人，講師，研究生，研究方向：大學物理教學。