利用幾何畫板 提高教學效率

○ 張掖實驗中學

幾何畫板是一個功能強大的數學工具，可以給學生提供一個“操作數學”的環境，把抽象的數學知識變得形象、直觀，并以動態的形式展示教學內容或數學問題，進而化抽象為具體、化具體為形象。因此，在數學教學中，教師要適時利用幾何畫板輔助教學，使教學內容更加直觀、生動，進而激發學生的學習興趣，增強教學的趣味性。下面，筆者以高中課后一道例題為例，談談幾何畫板在數學教學中的應用。

一、問題的引出

高中數學教材選修2—1：（第50頁B組第2題）一動圓與圓O1：x2+y2+6x+5=0 外切，同時與圓O2：x2+y2-6x-91=0內切，求動圓圓心M的軌跡方程，并說明它是什么曲線。

二、探究過程

（一）利用幾何畫板作圖。為了更直觀地探討上述問題，我們首先用幾何畫板做出上述問題的演示效果，做法如下：

1.建立參數：建立6個參數分別是：圓O1的圓心橫坐標、縱坐標、半徑r，圓O2的圓心橫坐標、縱坐標、半徑R；

2.在界面上建立直角坐標系，做出圓O1、O2，如圖1；

3.在圓O2上任取一點A，以點A為圓心，圓O1的半徑r為半徑作圓，構造直線O2A與該圓的交點為C、D，如圖2；

4.構造線段O1D，并作出線段O1D的垂直平分線與直線02A的交點為M，以M為圓心，MA為半徑作圓，并顯示為虛線，則圓M分別與圓02內切，與圓O1外切，如圖3。

5.依次選中點M、A，點擊菜單中構造軌跡，便可構造出圓心M的軌跡，而該圓心軌跡就是以O1、O2為焦點的與橢圓，如圖4。

（二）推理論證

由上述作圖過程知動圓M與圓O2內切，與圓O1外切，滿足題設條件，作圖是準確的，下面我們論證動點M的軌跡是橢圓，如圖5。（略）

（三）拓展

解答完這題，我們將問題稍作改動：“動圓內與圓 O1：x2+y2+6x=0 內切，同時與圓O2：x2+y2-6x-91=0內切，求動圓圓心M的軌跡方程，并說明它是什么曲線”，這個問題我作如下的說明：①在作圖過程中要稍做改動，需將第4步中的點D改為點C，其他過程不變。②推理論證過程中，MO1=MC，MO2+O2C=MC，O2C=R-r，而 后 得 到MO1-MO2=5，此時動點的軌跡為雙曲線如圖6。

通過不斷改變題設條件（兩定圓的位置關系，動圓與定圓的內外切關系），便可以得到不同類型的動圓圓心的軌跡問題，通過幾何畫板的動畫演示，讓學生開拓了視野，也讓學生了解到此題中的軌跡會隨著兩圓的位置關系的改變而改變，使學生得到了舉一反三的效果。

運用幾何畫板有效地拓展了學生學習的空間，培養了學生研究的興趣、解決問題的欲望及發現問題和解決問題的能力。學生的學習積極性、主動性明顯增強；同時能讓學生真正地動手操作、觀察、研究、思考。