把握面積計算的本質(zhì)

胡利群

[摘要]當(dāng)前小學(xué)數(shù)學(xué)課堂在核心素養(yǎng)理念的引領(lǐng)下，正從以往更多關(guān)注學(xué)生對知識的理解與掌握，轉(zhuǎn)向如今關(guān)注于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力、數(shù)學(xué)技能與思想等方面。對一次全國性觀摩活動中“長方形和正方形面積的計算”教學(xué)出現(xiàn)的問題進(jìn)行剖析，并依托網(wǎng)絡(luò)教室，抓住面積的本質(zhì)，引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行了“擺、量、估、議”四個層次的活動教學(xué)。

[關(guān)鍵詞]長方形和正方形;面積計算;本質(zhì);案例

[中圖分類號]

G623.5

[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A

[文章編號] 1007-9068（ 2020） 20-0019-03

【案例】

在一次全國性觀摩活動中，一位教師執(zhí)教“長方形和正方形面積的計算”時，以“實驗一猜想一驗證一概括”為探究主線，以期讓學(xué)生掌握這兩種圖形的面積計算方法的同時能獲得一種科學(xué)的研究問題的方法。

實驗中，學(xué)生用12個邊長為1分米的正方形擺長方形，三種擺法得出三組數(shù)據(jù)“4分米、3分米、12平方分米;6分米、2分米、12平方分米;12分米、1分米、12平方分米”，教師（將長方形擱置一邊）引導(dǎo)學(xué)生分析這幾組數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)長與寬相乘的積與長方形的面積正好是相等的，由此得到一個猜想（公式），繼而舉例驗證：先用公式計算，再用面積單位測量，發(fā)現(xiàn)兩種方法得到的答案是完全一樣的，最終概括得出長方形面積計算的公式。接著給出3道練習(xí)題，都是根據(jù)圖形上標(biāo)出的長與寬直接口答出圖形的面積，其中有一個是邊長為6厘米的正方形（標(biāo)出了兩條鄰邊），學(xué)生出于慣性的回答沒有出現(xiàn)任何問題，然而由此提升總結(jié)正方形面積公式時，學(xué)生卻“呼之不出”：有的說是“邊長x4”，有的說是“邊長x6”，無法實現(xiàn)由長方形面積公式到正方形面積公式的遷移。

【剖析】

誠然，個別學(xué)生誤將正方形的周長公式用于此也無可厚非，因為周長和面積畢竟是兩個非常容易混淆的概念，但全班學(xué)生“萬馬齊喑”就不對勁了。

仔細(xì)揣摩整個公式的探究過程，教師是在引導(dǎo)學(xué)生從純數(shù)據(jù)的角度找規(guī)律，即長乘寬恰好等于面積（而面積是用面積單位測量出來的）。我以為，僅從數(shù)據(jù)分析的角度來探索長方形面積的計算公式有點不妥，在“猜想、驗證”的背后是否還差一個“溝通、解釋”？因為學(xué)生心中可能會有一個大大的問號——為什么長乘寬正好等于面積呢？教師在長方形面積計算公式推導(dǎo)的過程中一直浮于數(shù)據(jù)相等的表面，沒有引導(dǎo)學(xué)生體會長方形面積計算的本質(zhì)，在擺、量的過程中體會長方形的長、寬與面積單位個數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系，所以學(xué)生沒有形成一定的方法，無法遷移可能是因為無“法”可移。

實際上，用面積單位測量面積的方法是探究面積計算公式的基礎(chǔ)。一個圖形面積的大小本質(zhì)上是它所含相同面積單位的多少（這是在認(rèn)識面積單位時學(xué)生就已經(jīng)掌握的），所以計算圖形的面積實際上就是在計算面積單位的個數(shù)，即每排的個數(shù)乘排數(shù)（這是二年級“認(rèn)識乘法”的內(nèi)容），可以說這兩點對于學(xué)生來說都不是難點，難點在哪里呢？在于引導(dǎo)學(xué)生意識到長方形的長、寬或正方形的邊長與每排個數(shù)、排數(shù)之間的關(guān)系，即每排的個數(shù)和排數(shù)是由長方形或正方形的兩條鄰邊決定的，這一點是得出長方形面積計算公式的關(guān)鍵所在，也是溝通長方形和正方形面積計算公式的橋梁，在教學(xué)中應(yīng)重點引導(dǎo)學(xué)生打通這一“關(guān)節(jié)”。

基于以上思考，我對本課進(jìn)行了一次教學(xué)（蘇教版教材三年級下冊第82、83頁），并將課堂“搬”到了電腦教室。

【實踐】

活動一：擺

師：請在電腦上用若干個1平方厘米的正方形擺一個長方形或正方形。

展示第一個作品：

師：對于這樣一個長方形，你能獲得它的哪些信息呢？

生1：它的長是4厘米，寬是3厘米。

師：怎么看出來的？

生1：因為一排擺了4個正方形，每個正方形的邊長是1厘米，所以長是4厘米.擺了3排，所以寬是3厘米。

生2：它的面積是12平方厘米。

師：怎么知道的？

生2：因為用了12個1平方厘米的正方形。

師：“12個”是你一個一個數(shù)出來的嗎？

生2：不是，是算出來的。每排4個，有3排，就是4x3等于12。

師：這是一道簡單的乘法算式，對嗎？瞧，我們在二年級學(xué)習(xí)的幾個幾是多少在這里又用上了。

師：還有誰想展示？在展示之前想一想，怎樣介紹讓別人還沒看到就已經(jīng)能想到它的樣子。

生3：我擺了三排，每排擺3個小正方形。

師：能想象她擺的圖形是什么樣的嗎？

生4：她擺的是一個正方形，邊長是3厘米。

展示生，作品：

師：看來擺正方形時有個特點。

生5：邊長都是一樣的。

生6：排數(shù)和每排的個數(shù)是一樣的。

師：那這個正方形的面積是多少呢？

生7：9平方厘米，3x3=9。

師：又是一道乘法算式，兩個“3”的意義一樣嗎？

（展示第三個作品;略）

師：通過剛才的擺，我們發(fā)現(xiàn)看一個圖形的面積是多少其實就是看什么？（板書：面積單位的個數(shù)）小正方形的個數(shù)是一個一個數(shù)出來的嗎？怎樣算？（板書：每排個數(shù)×排數(shù)）

活動二：量

師：用一些1平方厘米的正方形量出長方形的面積。（學(xué)生在電腦上操作，完成后交流）

展示第一種方法：

師：面積量出來了嗎？說說你的想法。

生1：每排5個，擺了4排，共有20個1平方厘米的小正方形，面積是20平方厘米。

師：其實他不僅量出了長方形的面積，他還量出了長方形的——

生2：長是5厘米，寬是4厘米。

展示第二種方法：

師：這樣擺可以嗎？他都沒擺滿，為什么也可以？

生3：因為這樣能看出一排有幾個且有幾排。

師：這樣就可以用一道乘法算式得到一共要多少個正方形。能看出長與寬嗎？比較一下，兩種量法你更欣賞哪一種？

活動三：估

師（出示一個長方形）：這里有一個長方形，估計一下它的面積是多少，說說你是怎樣估計的，怎樣知道估得準(zhǔn)不準(zhǔn)呢？

生1：用1平方厘米的小正方形去量。

師：只能用小正方形去量嗎？還可以用什么量？

師（出示：長6厘米）：你能想到什么？

生2：一排能擺6個小正方形。

師：如果長是5厘米呢？7厘米呢？16厘米呢？也就是說——

生3：長是幾厘米，一排就能擺幾個小正方形。

師：看來長方形的長決定了一排能擺幾個面積單位。只知道這一個條件就行了嗎？

生4：還要知道擺幾排。

師（出示：寬3厘米）：現(xiàn)在知道能擺幾排了嗎？（演示課件驗證）能用一道乘法算式表示它的面積嗎？

師：這里有一個正方形，估一估它的面積是多少。這回你需要幾個條件？為什么？

活動四：議

師：學(xué)到這里，大家可能已經(jīng)知道了這節(jié)課我們學(xué)習(xí)的內(nèi)容是什么了。（板書課題）那長方形的面積和什么有關(guān)呢？怎樣求長方形的面積？正方形呢？在小組內(nèi)交流自己的看法。

（教師板書兩個公式。兩個公式的得出非常輕松，一方面可能是前面的鋪墊比較到位，另一方面，即使沒學(xué)今天的課，不少學(xué)生也已經(jīng)知道這兩個公式了，所以下面這個環(huán)節(jié)很重要）

師：能具體地解釋一下這個公式嗎？長指的是

生1：每排能擺幾個。

師：寬呢？

生2：能擺幾排。

師：這個“邊長”指的是……那另一個“邊長”呢？這兩個公式有什么相同的地方嗎？

生3：它們都是在求有多少個小正方形（面積單位）。

生4：它們都是鄰邊相乘。（這位學(xué)生的發(fā)言可謂是石破天驚）

師（將兩個公式合為一體，板書：鄰邊相乘）：可見長方形和正方形面積的計算并不神秘，就是我們在二年級學(xué)習(xí)的“幾個幾是多少”的應(yīng)用而已。

【反思】

一、依托網(wǎng)絡(luò)教室，提高教學(xué)效率

本節(jié)課在網(wǎng)絡(luò)教室進(jìn)行絕非為了嘩眾取寵。之所以不放在教室，是因為學(xué)生的擺、量都不便于在全班展示;之所以不放在報告廳，是因為圖形投影到大屏幕上之后，面積放大了若干倍，不利于學(xué)生建立面積大小的正確表象，尤其是估計長方形面積環(huán)節(jié)，直接影響著學(xué)生估計的結(jié)果。實踐證明，學(xué)生在操作電腦時用鼠標(biāo)拖動小正方形來擺、量都非常方便，速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于實物操作，并且在局域網(wǎng)中能任意展示學(xué)生的作品，這樣不僅極大提高了教學(xué)的效率，同時這種新穎的教學(xué)方式也激發(fā)了學(xué)生的參與熱情。

二、抓住一個重點，推進(jìn)四次活動

這節(jié)課的重中之重是讓學(xué)生認(rèn)識到長方形、正方形的鄰邊與排數(shù)、每排個數(shù)之間的關(guān)系，圍繞這一點，我引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行了“擺、量、估、議”四個層次的活動。

“擺”，學(xué)生最容易關(guān)注到的往往是用了多少個正方形以及每排擺幾個、擺了幾排。我通過一句“對于這樣一個長方形，你能獲得它的哪些信息呢？”將學(xué)生的目光從單個的正方形吸引到長方形上來，學(xué)生自然也就能夠關(guān)注到長方形的長、寬與面積了。

“量”，學(xué)生最關(guān)心的是量的結(jié)果，即它的面積是多少，因為操作的要求就是測量圖形的面積。算式中的兩個乘數(shù)，學(xué)生僅僅把它看作“個數(shù)”與“排數(shù)”而已?！捌鋵嵥粌H量出了長方形的面積，還量出了長方形的——”一句啟發(fā)性的話讓學(xué)生將“個數(shù)、排數(shù)”與“長、寬”聯(lián)系起來。

“估”，一方面，通過學(xué)生有沒有用估的方法可以檢驗出“每排個數(shù)×排數(shù)”是否已深入學(xué)生的大腦，另一方面，前兩個環(huán)節(jié)是由“個數(shù)”想到“長、寬”，而這時出示“長”，問學(xué)生“能想到什么”，則是引導(dǎo)學(xué)生由“長”聯(lián)想到“個數(shù)”，這一恰好相反的心理活動讓學(xué)生進(jìn)一步深入認(rèn)識了它們之間的關(guān)系。

“議”，重點同樣是放在了對公式的理解上。這一活動是對前面幾個環(huán)節(jié)的總結(jié)與提升，如果說前三個活動是在挖渠，那么這個活動則是渠成之后的涓涓清流。

三、淡化圖形區(qū)別，把握計算本質(zhì)

從本質(zhì)上來說，長方形和正方形的面積計算方法是完全一樣的，所以在以往的教學(xué)中，一般都是先推導(dǎo)長方形面積的計算公式，再將其遷移到正方形面積的計算公式。而我在教學(xué)中有意淡化兩種圖形的區(qū)別，不分彼此，同步進(jìn)行它們面積公式的推導(dǎo)，以期能夠引導(dǎo)學(xué)生真正體會面積計算的本質(zhì)所在。在第一個環(huán)節(jié)，主要讓學(xué)生感覺到正方形擺的時候有點特殊，卻和長方形一樣都可以用一道簡單的乘法算式得到面積單位的個數(shù)，并且讓學(xué)生注意到乘法算式中的兩個數(shù)雖然相同，但意義不一樣。在估正方形的面積時讓學(xué)生說一說需要幾個條件，再次讓學(xué)生注意到正方形與長方形的面積計算是相同的，兩個乘數(shù)的意義是不一樣的。最后的“議”著重引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注兩個計算公式有什么相同的地方，學(xué)生的那句“它們都是鄰邊相乘”可謂是字字千金，這也正是教師苦心經(jīng)營所期望實現(xiàn)的目標(biāo)。

綜上，同樣的教學(xué)內(nèi)容之所以有不同的教學(xué)設(shè)計，絕非為了標(biāo)新立異刻意為之，而是不同的教學(xué)思考在教學(xué)形式上的具體體現(xiàn)。形式是為內(nèi)容服務(wù)的，教什么比怎么教更重要！

（責(zé)編金鈴）