另辟蹊徑，讓學生在畫圖中理解算理

郭小瑋

[摘要]畫圖是解決數學問題的重要策略之一。通過畫圖，可以使抽象的數學問題直觀化、形象化、具體化，從而幫助學生理解題意，分析數量關系，提高解決問題的能力，促進數學思想的形成。

[關鍵詞]蘇教版;小數除法;畫圖;算理

[中圖分類號]

G623.5

[文獻標識碼] A

[文章編號] 1007-9068（ 2020） 20-0033-02

“整數除以小數”是蘇教版教材五年級上冊第五單元“小數乘法和除法”中的內容，其中小數除法部分還包含了小數除以整數（個位夠商1）、整數除以整數（商是小數）、小數除以整數（個位不夠商1）、小數除以整十整百整千、小數除以小數。

我在第一個班級教學“整數除以小數”時，按照教材的編排模式，帶領學生探究了整數除以小數的豎式書寫。

【教學片段一】

出示媽媽在菜場購物的情境圖。

師：媽媽在菜場購買了蘿卜和番茄，它們的單價和總價如下表所示（表略），你能提一個數學問題嗎？

生1：蘿卜的總價是1.5元，單價是0.75元/千克，媽媽買了多少千克蘿卜？

師：對于這個問題，你會列式計算嗎？請在練習本上試一試。

生2：列式是1.5÷0.75。我把0.75和1.5同時擴大100倍，0.75就變成了75，1.5就變成了150，150除以75等于2，所以1.5÷0.75=2（千克）。

生3：我用豎式來計算。先畫出豎式計算的除號“廠”，然后在除號里面寫上被除數“1.5”，除號外左側寫上除數“0.75”，再去掉除數和被除數的小數點（同時擴大100倍），即將除數0.75前面的0劃去變成“75”，被除數1.5的末尾用0補足變成“150”，這樣就可以用整數除法計算了。150÷75=2，在被除數個位的上面寫上“2”。

師：無論是口算還是豎式計算，都是先把除數和被除數同時擴大相同倍數，也就是轉化為整數的除法，然后通過整數除以整數計算出商。

在之后的課堂練習環節，我發現學生只會計算，但并不知道為什么要這樣算。因此，在第二個班級教學同一內容時，我吸取教訓，通過畫圖的方法，讓學生發現除以一個數（0除外）等于乘上這個數的倒數。

【教學片段二】

出示算式6÷0.5。

師：計算6除以0.5，你會怎么算？

生1：6除以0.5，把除數和被除數的小數點同時向右移動一位，也就是把0.5和6同時擴大10倍，算式變成60除以5等于12，所以6÷0.5=12。

生2：也可以用豎式來計算。先畫出豎式計算的除號“廠”，然后在除號里面寫上被除數“6”，除號外左側寫上除數“0.5”，再移動除數的小數點，使它變成整數，即除數0.5的小數點向右移動一位變成“5”，同時被除數6的小數點也向右移動一位變成“60”，這時原來的算式就變成了60除以5等于12，所以6二0.5=12。

師：生1和生2都是通過計算得出了整數除以小數的商。再想一想，如果不計算，還可以怎么知道6除以0.5的答案？（板書：6÷0.5=6x

）

生3：可以用畫圖的方法。先畫一個正方形，再平均分成2份，我們知道1里面有2個0.5。再像這樣畫6個同樣的正方形，可以看出有6個2份，所以是6÷0.5=6x2。

師：大家聽明白了嗎？（板書：6÷0.5=6x2）我們再來回顧一下生3畫的圖是什么意思。（先個別學生說，再全班學生說）

（板書：4÷1/3=4× ，4÷0.4=4× ，4÷0.5=4× ）

師：請你用畫圖的方法來解釋整數除以小數的結果。

生。：對于4÷1/3=4× ，我先畫4個正方形，因為1里面有3個1/3，所以涂色的有4個3，即4÷1/3 =4x3。對于4÷0.4=4x ，我也畫4個正方形，因為1里面有2.5個0.4，所以涂色的有4個2.5，即4÷0.4=4x2.5。對于4÷0.5=4x ，還是畫4個正方形，因為1里面有2個0.5，所以涂色的有4個2，即4÷0.5=4x2。

師：請你觀察每個等式中除號后面和乘號后面的數，你發現了什么？

生5：每個等式中，除號后面的數和乘號后面的數相乘等于1。

師：這兩個數互為倒數。因此，除以一個數（0除外）等于乘上這個數的倒數。

【教學反思】

同是教學“整數除以小數”，由于教學目標定位不同，出現了兩個完全不同的教學設計。片段一的教學設計按部就班，幫助學生扎實地掌握除法豎式的書寫格式和步驟;片段二的教學設計除了讓學生掌握除法豎式，還讓學生結合畫圖解釋“1里面有幾個幾”，直觀地讓學生發現“除以一個數（0除外）等于乘上這個數的倒數”。

1.教學既要利用已知，也要搭建橋梁

學生學習數學知識是一個螺旋上升的過程。教師在教授新知時不僅要利用學生的已有知識和經驗，還要為后續的學習做好鋪墊。如教學“整數除以小數”時，由于在前面的學習中學生已經經歷了大量小數除以小數的豎式計算，因此用豎式計算整數除以小數屬于知識的正向遷移，對大部分學生來說并沒有難度，但是當被問到為什么要這樣計算時，他們就說不出原因了?？梢娖我坏慕虒W只注重知識方法的傳授，讓學生掌握整數除以小數的計算方法，卻沒有讓學生明白整數除以小數的計算算理。

因此，我在設計片段二時留給列豎式計算的時間較少，而是騰出時間，讓學生用畫圖的方法把整數除以小數轉化成整數乘法，再通過幾道同樣的例題，讓學生發現每個等式中除號后面的數與乘號后面的數相乘等于1，這也為六年級教學“分數乘法”和“倒數”做了鋪墊。

相比兩種不同的教學設計，我發現學生在學習片段一時毫無壓力。而在學習片段二時，剛開始學生一頭霧水、不知所措，但是當他們在畫圖中慢慢發現了整數除以小數的計算方法和算理后，計算整數除以小數就十分得心應手了。

2.教學既要傳授知識，還要滲透思想

《義務教育數學課程標準（2011年版）》明確指出，數學課既要傳授基本知識和基本技能，也要傳授基本思想方法和基本活動經驗。在片段二的教學中，我先出示了整數除以小數的算式，此時學生頭腦中首先跳出的是用等式的性質來計算。接著，我引導學生不計算，想辦法把這道除法算式變成乘法算式，學生發現可以利用畫圖直觀地呈現除法算式的意義，并結合圖形用最基礎的“1里面有幾個幾”來解釋，幫助他們順利得出了整數除以小數的答案。最后，我引導學生去發現數字之間的關系——每個等式中除號后面的數乘上乘號后面的數等于1。雖然這時學生還不知道什么是倒數，但是他們非常巧妙地把除法轉化為乘法來計算，體會到了除法與乘法之間的轉化關系，感悟了轉化的思想。

總之，學生學習整數除以小數的知識，既要熟練掌握怎么計算，還要知道為什么這么計算。相比用抽象的豎式計算，其實直觀的畫圖更好地解釋了計算過程，建立了除法與乘法的聯系。

（責編李琪琦）