在問題解決中感悟數學模型

張樹杉 王洪梅

[摘要]小學數學教材中滲透著很多的建模思想，通過對數量問題、總價問題、行程問題的教學片段進行分析比較，探討如何加深學生對“歸一問題”的理解，感悟數學思想、模型等，使建模思想得到有效滲透。

[關鍵詞]問題解決;數學模型;歸一問題

[中圖分類號]

G623.5

[文獻標識碼]A

[文章編號] 1007-9068（ 2020）20-0072-02

數學模型即“用數學的語言表達現實世界的故事”，是現實世界的簡化及本質的描述。數學建模是指“從數學的角度對所需要研究的問題做一個模擬，去掉與之無關的因素，保留數學關系，以形成某種數學結構”。

《普通高中課程標準（2017）》指出：“數學建模是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題，用數學方法構建模型解決問題。”而小學階段的數學建模與高中階段的不同，模型的內容與建模的過程相對于高中的要求要低很多，但是小學數學教材中同樣滲透著很多的建模思想。下面以三年級上冊中的“歸一問題”為例，談談如何在問題解決中讓學生充分感悟數學模型。

【教學片段一】

出示例1：3件上衣用了15個扣子，15件上衣需要多少個扣子？

（教師在引導學生讀懂題目意思的基礎上，讓學生獨立思考、嘗試解答，并鼓勵學生用自己喜歡的方式解答）

生1：

師：能說一說你畫的圖表示什么含義嗎？

生1：我先畫了3件上衣，并標注了“15個”;第二排是15件上衣所需要的扣子的數量。

生2：

生3：

師：能說一說你這樣畫的理由嗎？

生3：我用3段表示15個扣子，先求出一段需要多少個扣子，進而就可以求出15段（即15件上衣）需要多少個扣子。列式：15÷3=5（個），15x5=75（個）。

師：同學們畫的圖雖然簡單，但能有效解決問題。從畫圖的情況看，我們首先需要知道一件衣服用了多少個扣子，然后才能求出15件衣服用了多少個扣子，即由“1”求“多”。

分析：數學中，把每一件上衣用了多少個扣子稱為“每份數”，15件衣服即“份數”，15件衣服需要的扣子數稱為“總數”，進而建立它們之間的關系“每份數×份數=總數”，建立數學模型，進而求解。

【教學片段二】

出示例2：7個書包140元，照這樣，買10個書包需要用多少元？

師：能說一說你對題目的理解嗎？

生4：我用1個圓圈表示1個書包，7個圓圈就表示7個書包，先求出1個書包的價錢，進而求出10個書包需要用多少錢。列式：140÷7=20（元），20x10=200（元）。

生5：我用7段表示7個書包的價錢，先求出一段也就是一個書包的價錢，進而求出10段也就是10個書包的價錢。列式：140÷7x10=200（元）。

師：你們的方法真好，太厲害了。

分析：數學中，把一個書包多少元稱為“單價”，10個書包的“10”稱為“數量”，10個書包的價格稱為“總價”，進而建立它們之間的關系“單價×數量=總價”，從而順利建模解答問題。

【教學片段三】

出示例3：4小時行駛了1200千米，8小時行駛多少千米？

師：這一題和前兩題有點相似，說一說你是如何思考的。

生6：我用一條線段表示4小時行駛1200千米，要求8小時行駛多少千米，就可以用兩條線段表示。列式：1200÷4=300（千米），300x8=2400（千米）。

生7：我和他想的不一樣，我是這樣想的，既然知道了4小時行駛了1200千米，要求8小時行駛多少千米，可以用8-4=4（小時），這樣就多出了4個小時，所以8小時行駛了1200+1200=2400千米。

生8：我和他們想的都不一樣。我是這樣想的，4小時行駛了1200千米，而8剛好是4的2倍，所以8小時行駛了兩個1200千米，即8÷4x1200=2400千米。

師：你真棒！知道和我們以前學習的“倍”的知識聯系起來，真是個愛思考的學生。

分析：1小時行駛了多少千米，數學中稱之為“速度”，8小時稱為“時間”，8小時行駛的千米數稱為“路程”。根據題意可建立相應的模型“速度×時間=路程”，進而求解。

【教學反思】

思考1：教學片段一利用的是“每份數×份數=總數”這一模型，教學片段二利用的是“單價×數量=總價”這一模型，教學片段三利用的是“速度×時間=路程”這一模型，這三類模型在數學中統稱“歸一問題”模型，即知道“1”可以求出“許多”，反之，知道“許多”也可以求出“1”。數學建模是一個極其復雜且具有挑戰性的過程，也是一個“數學化”的過程，是讓學生在某種學習中獲得帶有“模型”意義的數學結構的過程。小學數學沒有復雜的數量關系與數學結構，其基本內容仍是以四則混合運算為主的問題解決。從成人的視角去看數學模型是及其簡單的，但是學生獨立思考、自主建構與解決問題的過程其實并不簡單，許多問題的解決過程都是學生“再創造”的過程。

學生的數學學習能力與思維水平的提升離不開好的活動設計，尤其在小學階段，數學建模思想的滲透與培養既要經歷一個過程，也要兼顧不同水平和層次的學生的需求，這就要求教師要精心設計活動。上述的三個教學片段由相應的問題引出了豐富的學習材料。為了便于比較，促進學生的抽象概括能力，還對這些材料采用精準的呈現順序，讓學生經歷了自主探究、獨立思考、嘗試解決的過程。在比較這些材料時，引導學生由“1”求出“許多”，使學生的感性認識上升為理性認識，既加深了學生對“歸一問題”的理解，又突出了“歸一問題”的結構特點與解題的規律。在整個建模的過程中，教師更加注重暴露學生學習的難點，逐步引導學生在質疑、爭論、追問中逐步厘清問題。縱觀整個學習過程，每一次的學習探究，學生都在體會題目的結構特點，都在感悟數學思想、數學模型等，建模思想得到了有效滲透。

思考2：人們認識客觀世界，把握客觀事物的規律，要通過探究事物與事物之間的異同，尋找事物與事物之間錯綜復雜的內在的聯系來現實，這就需要對事物進行比較。通過比較，能夠找出不同事物共同的本質屬性，促進歸納概括和數學模型的建構。設計上述三道題的目的是想讓學生能夠主動地運用數學模型去比較、分析、解決一些同類的現實問題，深刻地感悟并理解數學模型思想。通過對“數量問題、總價問題、行程問題”進行分析比較，學生會發現“拋開情境，這些問題的本質與結構都是相同的”，進而窺探到數學模型的影子。不僅解決問題的過程能加深學生對數學模型的認識，建立數學模型的過程還能夠幫助學生跳出具體的情境，向更高的抽象思維水平邁進。在數學教學中，教師既要教給學生“好吃又有營養”的數學內容（好吃是指學習的數學內容讓學生感興趣、熱愛學;有營養是指教給學生數學的思想和方法），又要教會學生用數學的眼光觀察世界、用數學的思維思考世界、用數學的語言表達世界。

[參考文獻]

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[s].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]史寧中.漫談數學的基本思想[J].中國大學教學，2011（7）：9-11.

（責編 羅艷）