高考中直線參數(shù)方程的應(yīng)用

張曉瑩

摘 要：在高考選考內(nèi)容—極坐標(biāo)系與參數(shù)方程中，經(jīng)常會(huì)遇到直線與圓錐曲線相交問題，若利用解析幾何中學(xué)過的方法求解，過程復(fù)雜，計(jì)算量大;若借助直線的額參數(shù)方程標(biāo)準(zhǔn)式中參數(shù)t的幾何意義進(jìn)行求解，將起到事半功倍的效果.

關(guān)鍵詞：直線的參數(shù)方程;t的幾何意義;距離

極坐標(biāo)系與參數(shù)方程是高考中選考部分中很重要的內(nèi)容，題型以直線的參數(shù)方程與曲線的參數(shù)方程或者極坐標(biāo)方程為主，最典型的是涉及直線與圓錐曲線相交所得的弦和弦長，或是求一點(diǎn)到某點(diǎn)的距離、求弦的中點(diǎn)等有關(guān)問題。一方面，我們可以利用解析幾何中學(xué)過的方法，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求解，但經(jīng)常過程復(fù)雜，計(jì)算量大，對學(xué)生的邏輯推理、計(jì)算能力要求比較高。另一方面，隨著選修4系列的學(xué)習(xí)，引入了直線的參數(shù)方程，在解題中也能利用直線的參數(shù)方程標(biāo)準(zhǔn)式中參數(shù)t的幾何意義進(jìn)行求解，但這種方法學(xué)生不熟練，對直線參數(shù)方程中t的幾何意義理解不透。本文通過幾道高考真題，研究如何借助直線參數(shù)方程解決相關(guān)問題。

一、 直線的參數(shù)方程標(biāo)準(zhǔn)式中t的幾何意義

經(jīng)過點(diǎn)P（x0，y0）、傾斜角為α的直線的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)式為x=x0+tcosα

y=y0=tsinα（t為參數(shù)）

t的幾何意義：

設(shè)M（x，y）為直線上的任意一點(diǎn)，參數(shù)t的幾何意義是從點(diǎn)P到M的位移，當(dāng)t>0時(shí)，點(diǎn)M在點(diǎn)P的上方;當(dāng)t<0時(shí)，點(diǎn)M在點(diǎn)P的下方;當(dāng)t=0時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)P重合。

二、 直線參數(shù)方程的應(yīng)用

（一）求與距離相關(guān)的問題

【例1】 （2018江蘇）在極坐標(biāo)系中，直線l的方程為ρsinπ6-θ=2，曲線C的方程為ρ=4cosθ，求直線l被曲線C截得的弦長。

分析：根據(jù)直線l的極坐標(biāo)方程，寫出直角坐標(biāo)方程，進(jìn)而寫出參數(shù)方程，聯(lián)立直線l的參數(shù)方程與曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程，得到關(guān)于t的一元二次方程。結(jié)合t的幾何意義，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可直接求解。

解：直線l的普通方程為x-3y-4=0，直線l的參數(shù)方程為x=4+32t

y=12t①，橢圓C的普通方程為（x-2）2+y2=4②，將①代入②得：2+32t2+12t2=4，化簡得t2+23t=0，所以t=0或-23，所以|AB|=|t1-t2|=|0-（-23）|=23。

點(diǎn)評：直線參數(shù)方程應(yīng)為標(biāo)準(zhǔn)形式，這樣t就具有一定的幾何意義，求直線被圓錐曲線所截弦長就可直接借助公式|AB|=|t1-t2|求解。

（二）有關(guān)弦的中點(diǎn)問題

【例2】 （2018全國2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為x=2cosθ

y=4sinθ（θ為參數(shù)），已知直線l的參數(shù)方程為x=1+tcosα

y=2+tsinα（t為參數(shù)），

（1）求曲線C和直線l的直角坐標(biāo)方程;

（2）若曲線C截直線l所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），求直線l的斜率。

分析：（1）消參可直接求出C，l的直角坐標(biāo)方程;（2）若點(diǎn)A對應(yīng)的參數(shù)為t1，點(diǎn)B對應(yīng)的參數(shù)為t2，則AB中點(diǎn)所對應(yīng)的參數(shù)為t1+t22，結(jié)合t的幾何意義，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可直接求解。

解：（1）曲線C的普通方程為x24+y216=1。

當(dāng)cosα≠0時(shí)，直線l的直角坐標(biāo)方程為y=tanα·x+2-tanα;

當(dāng)cosα=0時(shí)，直線l的直角坐標(biāo)方程為x=1。

（2）將l的參數(shù)方程代入C的方程，整理得關(guān)于t的方程（1+3cos2α）t2+4（2cosα+sinα）t-8=0 ①，設(shè)t1，t2為方程①的兩個(gè)解，所以t1+t2=0，即-4（2cosα+sinα）1+3cos2α=0，所以2cosα+sinα=0，

故直線l的斜率為-2。

點(diǎn)評：若直接求解需要分類討論，并且在cosα≠0時(shí)，得到關(guān)于x的一元二次方程形式也較復(fù)雜;而如果利用參數(shù)t的幾何意義進(jìn)行計(jì)算，很明顯可以簡化計(jì)算。

通過這幾道高考真題的求解，很明顯可以感覺到利用直線參數(shù)方程標(biāo)準(zhǔn)式中t的幾何意義解題，會(huì)比直接利用根與系數(shù)的關(guān)系要簡單，但一定得確保直線參數(shù)方程為標(biāo)準(zhǔn)形式。在今后的學(xué)習(xí)研究中，要選擇適當(dāng)、簡潔的方法解決相關(guān)問題。

參考文獻(xiàn)：

[1]周艷祖.復(fù)習(xí)“坐標(biāo)系與參數(shù)方程專題”的戰(zhàn)略思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2018（24）.

[2]高志雄.“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”的教學(xué)啟示[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2011（1）.

[3]黃喜濱.基于核心素養(yǎng)的極坐標(biāo)與參數(shù)方程難點(diǎn)之探究[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2018（2）.

[4]謝思孟.關(guān)注直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2017（6）.

[5]鄒生書.例析直線參數(shù)方程在解題中的應(yīng)用[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2016（21）.

[6]武增明.深層理解簡解題：關(guān)注直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2015（15）.

[7]張仕興.例談直線的參數(shù)方程標(biāo)準(zhǔn)式與非標(biāo)準(zhǔn)式中參數(shù)的幾何意義[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2019（8）.

[8]侯俐.例談直線參數(shù)方程的幾何意義應(yīng)用[J].中學(xué)課程輔導(dǎo)：教師通訊，2017（24）.