高考數學創新型試題的類型及特點分析

胡琳 熊丙章 童莉

[摘? 要] 高考數學題的創新響應了時代的號召，在改革發展的時代大背景下，立足新課標理念，評析了近三年典型高考全國卷理科數學創新型試題的四大類型：立德樹人型、趣味邏輯型、高等背景型、閱讀理解型，通過列舉近三年典型高考全國卷理科數學試題，對各類型試題的特點做了分類分析，整體把握了高考試題的創新點.

[關鍵詞] 高考數學;創新型試題;類型及特點

習近平總書記在全國兩會重要講話中提出“三個第一”的重要論斷，即“發展是第一要務，人才是第一資源，創新是第一動力.”其中，創新是一個民族進步的靈魂，是一個國家興旺發達的不竭動力. 《義務教育數學課程標準 （2011年版 ）》指出“要注重發展學生的創新意識”[1]，《普通高中數學課程標準（2017年版）》指出：數學教育承載著培養學生創新意識的任務，要促進學生實踐能力和創新意識的發展[2]. 2017年考試大綱說明提出“高考數學命題應該加強用創新型試題來檢驗學生的創新意識，高考數學創新型試題是指從測量考生的發展性學力和創造性學力著手突出能力檢驗的試題[3]. 2009年趙思林[4]教授探究了創新型試題的類型，2018年趙思林[5]等人將高考數學創新型試題分為觀察分析型、閱讀理解型、合情推理型等12類，2019年劉成龍[6]等人將其分為公式證明型、問題推廣型等4類，但創新型試題可從背景、類型、特點等多角度入手，因此本文著重評析了近三年典型高考全國卷理科數學創新型試題的四大類型：立德樹人型、趣味邏輯型、高等背景型、閱讀理解型，并從中體會到所包含的四大特點，即觀念新、思維新、背景新、呈現新.

立德樹人型，觀念新

“立德”即樹立德行，自古以來“立德”是需要堅守的重要品德，“立德”最早在《左傳》中出現，即“大上有立德，其次有立功”. 因此“數學教學應具有德育功能”，高考數學試題應該延續中華民族的優良傳統，將“德”滲透到高考數學試題中，使之得以弘揚，這也是高考數學試題的創新之處. “立德樹人”涵蓋豐厚的文化底蘊，育人于無聲無息中，以數學文化等觀念立意，詮釋了有內涵、有價值的觀念角度，提升了試題這一文本的潛在高度. 如2017年全國卷Ⅰ理科第2題的“太極圖”;2018年全國卷Ⅱ理科第8題的“哥德巴赫猜想”、全國卷Ⅲ理科第3題的“榫卯問題”;2019年全國卷Ⅰ理科第6題的“卦”、全國卷Ⅱ理科第4題的“登月問題”、全國卷Ⅱ理科第16題的“印信問題”.

例1（2019年高考全國卷Ⅱ理科第4題）2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業取得又一重大成就，實現月球背面軟著陸需要解決的一個關鍵技術問題是地面與探測器的通訊聯系. 為解決這個問題，發射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日L2點的軌道運行. L2點是平衡點，位于地月連線的延長線上. 設地球質量為M1，月球質量為M2，地月距離為R，L2點到月球的距離為r，根據牛頓運動定律和萬有引力定律，r滿足方程：+=（R+r）.設α=，由于α的值很小，因此在近似計算中≈3α3，則r的近似值為（? ）

A. RB. R

C. RD. R

評析：本例以嫦娥四號登月為命題背景，通過介紹我國航天事業的偉大成就，進而拋出了數學計算問題，體現了高考命題時對“德育”的引導，也凸顯了立德樹人的思想方針，此命題角度充分體現了觀念的新穎性.

趣味邏輯型，思維新

邏輯是思維的規律，也是創新的起點，將邏輯增添趣味，從而使得思維得到活躍，促進了學習、研究的興趣，為學生的“思維靈活度”的培養提供了催化劑，提升了學生的邏輯思維能力等. 趣味邏輯型試題以獨特的視角、靈活的思考，帶給學生新穎的思維情境，幫助學生打開邏輯的大門，對于學生邏輯思維能力的培養十分有利. 如2017年全國卷Ⅱ理科第7題的“詢問成績問題”;2018年全國卷Ⅰ理科第7題的“最短路徑問題”;2019年全國卷Ⅰ理科第15題的“籃球問題”.

例2（2017年高考全國卷Ⅱ理科第7題）甲、乙、丙、丁四位同學一起去向老師詢問成語競賽的成績. 老師說：你們四人中有2位優秀，2位良好，我現在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績. 看后甲對大家說：我還是不知道我的成績. 根據以上信息，則（? ）

A. 乙可以知道四人的成績

B. 丁可以知道四人的成績

C. 乙、丁可以知道對方的成績

D. 乙、丁可以知道自己的成績

評析：本例以學生向老師詢問考試成績為情境，聯系了師生之間的生活情境，頗具趣味性，極大地激發了學生“用腦”“用心”去思考問題情境，使得學生有邏輯的思考空間，并且學生緊張的思緒得以放松，體現了對學生的人文關懷，此題新穎、有趣，充分展現了邏輯的趣味性、思維的新穎性.

高等背景型，背景新

高等背景型試題是指將高等數學知識、方法等作為素材來命制的試題.該類試題的創新體現在三個方面：一是命題素材創新，即拓寬了命題素材選取范圍，打破了源于教材的傳統;二是試題背景創新，即試題含有豐富的高等數學背景;三是解答方法創新，即可用初等方法，也可以運用高等數學知識解答. 實踐表明，高等背景型試題具有積極作用：凸顯能力立意的命題原則;強化中學數學與高數知識間的銜接;展示新穎的數學背景;豐富試題的內涵;拓寬試題解法;考查學生創新能力和創新意識[7]. 該類試題為學生個性發展、超前學習、創新拓展提供了更為廣闊的視角. 如2017年全國卷Ⅲ理科21題的“柯西不等式”;2018年全國卷Ⅰ理科第21題的“拉格朗日中值定理”、全國卷Ⅲ理科第21題的“洛必達法則”;2019年全國卷Ⅲ第23題的“柯西不等式”.

例3（2018年高考全國卷Ⅲ理科第21題）函數f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）-2x.

（Ⅰ）若a=0，證明：當-10時，f（x）>0;

（Ⅱ）若x=0是f（x）的極大值點，求a.

評析：本例含有洛必達法則的高等數學背景.在第（Ⅱ）中運用到了洛必達法則，對的分子分母分別求導再求極限，從而求解a值. 洛必達法則的使用條件是分子分母極限均為0，本例的解答方法和命制過程充滿了創造性. 命制試卷時要注意構造出滿足條件的分式，從而運用洛必達法則巧妙解答，背景具有深刻性.

閱讀理解型，呈現新

閱讀，字典的解釋是“看文字并理解它的意思”. 閱讀屬于信息輸入加工形式，是人類汲取知識、認識世界、可持續發展能力的一個重要方式[8]. 而數學閱讀是指學生根據已有的知識和經驗，通過閱讀數學材料（數學公式、方法、圖形、符號、文字等）汲取信息，建構數學意義和方法的心理和智力過程[8]. 從心理學角度分析，數學理解的本質是學習者在頭腦中形成關于這個知識的內部網絡，即建立了該知識的圖式[9]. 可見，閱讀是促進理解的重要手段. 閱讀理解型試題是指以閱讀材料形式呈現的試題. 閱讀材料往往介紹一個新定義、一種新規則、一種新運算等等，這些新的信息需要學習在考場上現場加工、內化、運用，這一過程正是新課程倡導的閱讀自學的數學學習方式. 如2017年全國卷Ⅰ理科第12題的“激活碼問題”、全國卷Ⅱ理科第3題的“塔燈問題”;2018年全國卷Ⅰ理科第3題的“餅圖問題”;2019年全國卷Ⅰ理科第4題的“斷臂維納斯”、全國卷Ⅲ理科第3題的“四大名著”.

例4（2019年高考全國卷Ⅰ理科第4題）古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比為（≈0.618，稱作黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如此. 此外最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是. 若某人滿足上述兩個黃金分割比例，腿長為105 cm，頭頂至脖子下端的長度為26 cm，則其身高可能是（? ）

A. 165 cm ? B. 175 cm

C. 185 cm ? D. 190 cm

評析：本例是典型的閱讀理解型試題，問題之間相互貫穿，體現了問題呈現的新穎性，題中數字多、文字多、比值多，對學生閱讀能力要求很高. 解答時，學生需要經歷信息篩選→信息加工→信息應用，整個過程為：通過閱讀認識頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比、頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比都為，結合比值與人體之間的關系，理清人體各分布的比值，然后將比值運用到題設中. 解答過程中包含對黃金分割比例的認識、理解、運用，著重考查學生的信息加工能力、閱讀理解能力.

創新作為高考命題的風向標，已有深刻體現，不難發現在近三年的高考數學試題命制中，立德樹人型、趣味邏輯型、高等背景型、閱讀理解型這四類創新題型，在高考中呈現得較為頻繁，表現出穩步上升的趨勢，因此在教學中應該多加練習，熟悉典型高考數學創新型試題. 隨著不斷地創新發展，使得創新型試題的題型多種多樣，其類型及特點也會隨之改寫、升華，我們應該把握大體趨勢，以適應自身素養的提升和高考的需求.

參考文獻：

[1]? 中華人民共和國教育部制定. 義務教育數學課程標準（2011年版）[S]. 北京：人民教育出版社，2011.

[2]? 中華人民共和國教育部制定. 普通高中數學課程標準（2017年版）[S]. 北京：人民教育出版社，2017.

[3]? 教育部考試中心. 2017年普通高等學校招生全國統一考試大綱的說明：理科[M]. 北京：高等教育出版社，2017.

[4]? 趙思林. 高考數學創新型試題的幾種類型[J]. 高中數學教與學（人大復印），印2009（5）.

[5]? 趙思林，李雪梅. 高考數學創新型試題的若干類型與評析[J]. 內江師范學院學報，2018（2）.

[6]? 劉成龍，胡琳. 高考數學創新型試題的幾種類型及評析[J]. 中學數學，2019（5）.

[7]? 劉成龍，余小芬. 高等數學背景下高考命題的問題及建議[J]. 中國數學教育，2017（22）.

[8]? 劉成龍，黃祥勇. 2014年中考成都卷第23題分析及啟示[J]. 中學數學，2015（2）.

[9]? 喻平. 數學教育心理學[M]. 南寧：廣西教育出版社，2004.