一道含三角不等式恒成立問題的完全解讀

張志華 武曉

[摘? 要] 不等式的恒成立問題，因其運算繁雜和思想性強而成為高考命題的熱點;而與此同時，高考命題已由“能力立意”轉向“素養考查”，我們的解題教學也必須與時俱進，促進學生核心素養的提升.文章以一道含三角不等式恒成立問題為例提供了一個思考視角.

[關鍵詞] 不等式恒成立;三角函數;解題教學

不等式的恒成立問題，是高中數學的一種重點題型，主要是其運算繁雜、綜合性強、思想性強，對學生的邏輯推理能力、運算化簡能力和分類討論思想、數形結合思想等核心素養要求較高，也一直是高考常考常新的熱點和難點. 一般來說有兩種大的類型：函數不等式恒成立的證明（常見方法：①構造差函數研究最值;②放縮證明;③拆分函數）和已知不等式恒成立求參數的取值范圍.前者的研究已比較透徹，筆者擬結合實例對后者進行充分的討論.

問題呈現

（遼寧省“五校”2019屆高三期末考試21（2））若不等式≤ax對?x≥0恒成立，求實數a的取值范圍.

命題立意

本題難度較大，主要考查利用導數求函數的極值、利用導數研究不等式的恒成立問題，考查推理論證能力、運算求解能力、分類討論思想，體現了邏輯推理、數學運算等核心素養;關鍵難點在于將導數與三角函數相綜合，所以在具體運算和三角函數的周期性的處理上，讓學生覺得非常棘手.

例題解析

本題屬于已知不等式恒成立求參數的取值范圍問題，以下采用三種典型的解法加以剖析.

1. 解法一（參變分離）

不等式的恒成立問題，最常規的思路是通過參變分離轉化為最值問題.

評注：此種解法可將其提煉出一般的解題思路，其具體程序如下：（1）先參變分離，轉化為研究函數最值;（2）多次求導+羅必塔法則;（3）通過限制范圍，消解三角函數的周期性，得到必要條件;（4）證明充分性（放縮消參證明不等式）.

2. 解法二（分類討論）

不等式的恒成立問題，若參數分離不出來，或分離出來的函數研究最值很困難時，可以考慮通過構造差函數，通過討論差函數的最值與0的大小，得出參數的取值范圍.

評注：此種解法可將其提煉出一般的解題思路與程序：（1）構造差函數;（2）求導，研究導函數的值域;（3）按照“符號一邊倒”原則進行分類討論. 值得注意的是分類標準：①先研究導函數的值域;②先討論導函數“符號一邊倒”時的情形（即原函數單調），此時通常符合題意;③再討論導函數存在隱零點的情形（零點存在定理+單調性），結合端值效應舉反例.

3. 解法三（端值效應）

不等式的恒成立問題，構造差函數后，通常差函數在端點處的值為0，則可以先通過端值效應，找到一個必要條件，然后證明其充分性即可.

解析：令h（x）=ax-（x≥0）. 注意到h（0）=0，原不等式等價于：h（x）≥h（0）對?x≥0恒成立. 又h′（x）=a-，所以h′（0）=a-≥0?a≥.

下證必要性：參考解法一.

評注：此種解法可將其提煉出一般的解題思路與程序：（1）構造差函數;（2）觀察差函數的端值（通常為0）;（3）根據端點處導函數的符號得出參數的取值范圍;（4）證明其充分性.

提醒注意的是：①其實這里面蘊含有數形結合的思想;②有時會產生連鎖效應，需要多次求導.

追根溯源

其實，不等式恒成立問題在高考中屢見不鮮，與三角函數的綜合也不乏先例，我們尋根溯源，例如：

例1：（2008年全國二卷理22）設函數f（x）=，（2）如果對任何x≥0，都有f（x）≤ax，求a的取值范圍.

例2：（2015年湖南卷理21）已知a>0，函數f（x）=eaxsinx（x∈[0，+∞））. 記xn為f（x）的從小到大的第n（n∈N*）個極值點，證明：（2）若a≥，則對一切n∈N*，xn

例3：（2016年全國三卷理21）設函數f（x）=acos2x+（a-1）（cosx+1），其中a>0，記f（x）的最大值為A.

（3）證明f′（x）≤2A.

由于篇幅所限，這里不詳加解析，相信讀者可以發現這幾道問題間的淵源.

教學啟示

解題教學是數學教學中不可或缺的一環，解題教學不僅是數學靈活運用的內在需求，也是提升學生數學素養的清晰途徑. 如何提高數學解題教學的能力呢？首先在于教師要透徹洞察問題的本質、問題的來龍去脈和前因后果，教學時可以一針見血地指出問題的關鍵所在. 其次力求對問題進行模型化和程序化. 模型化可以讓學生輕松辨識問題和理解問題關鍵，程序化可以讓學生“亦步亦趨”模仿和分層逐步推進. 當然這也非常考究教師的文字歸納功底和專業視野. 最后要追根溯源找到問題的源與流，特別是通過高考真題這個寶藏去探求命題者的思維，形成科學的備考經驗和策略.

通過對此問題的完全解讀和追根溯源，筆者針對學生解題能力的提升給出以下建議：

（1）重視問題本質和適度訓練;

（2）重視一題多解和多題一解;

（3）重視一題多變和分層設問;

（4）重視題后反思和思路提煉.

總而言之，高考命題已由“能力立意”轉向“素養考查”，我們的課堂教學也必須跟上這個風向標，與時俱進地進行科學備考. 數學教育家奧加涅曾說：“很多習題潛藏著進一步擴展其教學功能、發展功能和教育功能的可能性”. 很多模擬題都是命題者精心設計的，大多蘊含深刻的背景和豐富的數學思想，很多高考題其實是這些問題的組合、加工、引申、拓展和類比. 這體現了模擬題與高考題之間的關系，其實這也是本文通過“借一斑而窺全豹”的意義之所在.