利用端點值巧解不等式恒成立問題*

楊 亮

(海南省臨高中學數學名師工作室 571800)

用導數證明不等式恒成立或由不等式恒成立求參數取值范圍的問題是新課標高考壓軸題的重要考點，因為這類問題要求學生熟練掌握函數與方程、數形結合、分類整合、化歸與轉化等思想方法．學生在解決此類問題時往往有較大的恐懼心理，覺著無從下手.其實只要學生認真分析，整理各類題型用到的思想方法和出題人考查的數學核心素養的目的，解法還是有規律可循的.筆者深入分析了歷年高考導數壓軸題，發現2006年、2010年、2014年、2018年高考導數題驚人地呈現周期性規律，都考查了這方面的內容．經過仔細剖析，筆者發現其函數解析式有共同的特點，解法有共同規律，可以說都可以用一個通法來解決，即“端點值切入、恒增或恒減入手找恒成立必要條件、反面找極值點證端點后立刻反單調排除”這三步解題法．下面具體闡述這種方法．

1 特例入手，牛刀小試

我們先來看2018年全國新課標卷Ⅱ理科21題第(1)小問：已知函數f(x)=ex-ax2．若a=1，證明：當x≥0時，f(x)≥1．

分析 當a=1時f(x)=ex-x2,要證明當x≥0時，f(x)≥1.注意到端點值f(0)=1恰好為f(x)≥1中的函數值1，那么我們要證明x≥0時f(x)≥1，有一種情況是一定成立的：只要x≥0時f(x)為增函數，就有f(x)≥f(0)，即f(x)≥1一定成立.所以我們很容易就想到要用導數來證明x∈[0, +∞)時，f(x)為增函數，即證明x≥0時f′(x)≥0恒成立這種方法.

顯然此題作為2018年高考導數題的第(1)問，入手比較容易，但它體現了我們解題方法中的前兩步：“端點值切入--恒增或恒減入手找恒成立必要條件”．這也算是我們這種方法在無參數問題情形下的一次預熱.

2 接觸正題，初試鋒芒

我們看2006年全國卷Ⅱ理科20題：設函數f(x)=(x+1)ln(x+1)，若對所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求實數a的取值范圍．

題設要求對函數f(x)=(x+1)ln(x+1)，要有x≥0時f(x)≥ax恒成立.我們可以構造函數g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax，只需要x≥0時，g(x)≥0恒成立就可以了.注意到端點值g(0)正好為0，與給出的g(x)≥0的函數值0相吻合，即只要g(x)≥g(0)恒成立就可以了.這就滿足了我們三步解法中的第一步“端點值切入”，但此題顯然比2018年的導數題第(1)問要難.因為g′(x)=ln(x+1)+1-a，顯然g′(x)的正負與參數a的值有關，不可能像2018年那題那樣用導數恒正進而用x≥0時函數遞增來證g(x)≥g(0)成立.

這樣，我們就得先進行第二步，先看x≥0時g′(x)≥0恒成立時a取什么范圍，把這個必要條件求出來，即進入“恒增或恒減入手找恒成立的必要條件”這一環節．因為g′(x)=ln(x+1)+1-a，又x≥0時，ln(x+1)≥ln 1=0,故只要1-a≥0即a≤1時，g′(x)≥0就恒成立，從而g(x)在x∈[0, +∞)時為增函數就恒成立，則g(x)≥g(0)=0成立，所以a≤1時f(x)≥ax一定成立.但這時下結論還不夠嚴謹，a≤1只是結論成立的必要條件，我們還沒討論a>1時有沒有可能成立.數學是嚴謹的，我們必須進行討論.現在進入第三步“反面找極值點證端點后立刻反單調排除”，即只要說明在x≥0時，f(x)馬上遞減.這樣在x≥0時，函數值馬上就有負值，則x≥0時f(x)≥0顯然不會成立.這樣我們就證明了它就是這種特殊情況.

顯然a>1時，由g′(x)=ln(x+1)+1-a=0時可解得x=ea-1-1，且我們知道g′(x)= ln(x+1)+1-a在x∈[0,+∞)時為單調遞增函數.因為對于01時，不是對所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．故a>1舍去．綜上,a≤1為充要條件，a的取值范圍是(-∞，1]．

這道題就是“端點值f(0)切入、恒成立找必要條件a≤1(x≥0時恒增)入手、在a>1時反面找極值點，即x在大于0時馬上找0到極值點內導數小于0，函數遞減來排除”這三步.

我們可以用幾何畫板軟件構造參數a，畫出g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax在參數a取不同數值時函數的圖象.可以直觀地看出，在x≥0條件下，當a≤1時，g(x)在x∈[0,+∞)時為增函數恒成立；當a>1時，g(x)在x∈[0,+∞)時呈先減再增的變化規律.有條件的話，可讓學生動態演示這個課件，加深學生的理解.

圖1 圖2

3 檢驗實效、趁熱打鐵

我們再來看2014年新課標卷Ⅱ理科21題：已知函數f(x)=ex-e-x-2x．(1)討論f(x)的單調性；(2)設g(x)=f(2x)-4bf(x)，當x>0時，g(x)>0,求b的最大值．

直接看第(2)問.g(x)=f(2x)-4bf(x)=e2x-e-2x-4b(ex-e-x)+(8b-4)x,因為當x>0時，g(x)>0恒成立，而g(0)=0，所以只要g(x)>g(0)，端點值屬于代入成立問題，滿足第一步.故我們自然想到進入第二步，恒增入手.

人工智能研究的歷史已有60多年，國家的支持是人工智能賴以生存和發展的土壤。美國政府長期支持人工智能的研究及其在各個領域中的應用，將“大腦計劃”“先進制造”“智慧城市”等作為其國家戰略的重要內容；歐盟2009年開啟“藍腦計劃”，2013年啟動“人腦計劃”，2016年建設了神經信息、大腦模擬、高性能計算、醫學信息、神經形態計算、神經機器人六大平臺；2015年，日本發布“機器人計劃”，并擬以10年投入千億日元巨資用于研發人工智能；2016年美國又發布了《為人工智能的未來做好準備》和《國家人工智能研發戰略規劃》報告。發達國家的這些舉措直接促進了全球人工智能的開發應用。

此題和2006年題目的解題方法完全一致，我們的三步法用起來得心應手.我們也可以利用幾何畫板構造參數b來直觀看一下規律：

圖3 圖4

4 靈活運用、形成技能

最后我們來看一道比較難的題目，2010年新課標全國卷Ⅱ理科21題：設函數f(x)=ex- 1-x-ax2.(1)若a=0,求f(x)的單調區間;(2)若當x≥0時，f(x)≥0,求a的取值范圍.

我們還是重點來看第(2)問.大多數參考答案用的都是放縮法，利用ex≥1+x和e-x>1-x(x≠0)來進行放縮變換.我認為，特別是第二個放縮，學生基本上在考試的有限時間內很難發現規律，故此題得分不高.我建議還是用學生習慣的二次求導法，解法如下：

首先，要滿足x≥0時f(x)≥0恒成立，而f(0)=e0-1-0-a×02=0，所以端點值仍然是代入成立問題，符合第一步.

我們還是用幾何畫板來看一下圖象變化規律(圖5-6)：

圖5 圖6

通過上面4道導數高考壓軸題的剖析，我們可以找到“端點值代入恰好為函數值分界點的導數恒成立求參數取值范圍問題”的三步通法.當然，題目瞬息萬變，我們也不能死記硬背通法.但有了規律會給我們的解題和教學帶來思考方向，可以幫助我們帶領學生們事半功倍.本文權作拋磚引玉，希望能給大家帶來幫助.