新課標背景下數學建模能力的評價研究
——基于PISA和TIMSS數學測評框架的對比分析*

沐方華 董 潔

(安徽省合肥市第一中學 230601)

在中國高中數學課程改革的十幾年間，數學建模逐漸進入到中學數學課堂，并越來越受重視．《普通高中數學課程標準(2017年版)》(以下簡稱2017年新課標) 中，“數學建模”被列為新增的三個課程內容(數學建模、數學探究、數學文化)之一，更加突出了“培養數學建模能力”的重要性．同時，2017年新課標明確要求高中階段至少為學生安排一次建模活動，并給出了相應的學時．數學建模作為六大核心素養之一，是溝通現實世界與數學世界的橋梁，反映了數學的應用價值[1]．

1 研究背景

近年來，各國和各地區的課程改革都將數學建模思想納入新的課程標準當中．全美數學教師理事會(NCTM)在2000年出版的《學習數學教育的原則和標準》中提出，問題解決必須成為中學數學的中心，要把數學建模納入中學教材[2]．日本近些年來的課程改革也提出，要重視培養學生發現問題、獨立思考和解決問題的能力，注重創造性的培養．2003年，德國數學教育課程標準明確提出，數學建模能力是學生應當發展的數學能力，即學生要學會用數學的知識與方法去理解與現實相關的情境，并提出解決方案．我國《義務教育數學課程標準(2011年版)》將知識內容分為四部分，其中第四部分為“綜合與實踐”，要求學生學會用另外三部分的知識(數與代數、圖形與幾何、統計與概率)去解決生活中的一些實際問題，著重發展學生的應用意識和創新意識[3]．2017年新課標提出：“高中數學課程以學生發展為本，落實立德樹人根本任務，培養和提高學生的數學核心素養．”教育工作者要重點加強學生數學建模素養的培養，讓學生學會用數學的眼光去看待周圍的事物．

2 數學建模的內涵

數學模型是借用數學的思想語言講述現實世界的故事，是我們所面對的復雜無序的現實問題的數學簡化．數學建模就是基于不同的現實問題，建立相應的數學模型并得出相應的結果或結論；數學建模是現實情境到數學領域的映射．徐斌艷教授也提出，數學建模是建立真實世界與數學世界之間可逆的聯系，關注抽象出數學問題與解決現實問題的過程．數學建模并非線性過程，需要不斷地從數學世界返回真實世界中檢驗結果、完善模型[4]．波利亞在《怎樣解題》一書中談到解決問題通常要經過四個流程，即弄清問題、擬定計劃、實施計劃、回顧與反思．2006年，國際經濟合作與發展組織(OCED)在其開展的國際學生評估項目(PISA)中，將數學建模的過程分為五個流程：(1)從現實中發現問題并提出；(2)對現實問題進行簡化；(3)進行合理的假設，將現實問題轉化為數學問題；(4)解決數學問題；(5)將數學結果返回到現實情境中解釋并進行檢驗[5]．這五個流程將現實世界與數學世界聯系在一起，構成了數學建模的循環模型(圖 1)．

圖1 PISA數學建模五流程循環模型

2017年新課標也給出了數學建模核心素養的內涵：“數學建模是對現實問題進行抽象，用數學語言表達和解決問題的過程．具體表現為：在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數、計算求解，檢驗結果、改進模型，最終解決實際問題．”

3 數學建模能力評價現狀

長期以來，關于數學建模的研究多為設計使用數學模型或數學建模教學，更偏重于利用數學模型解決實際問題．但是由于數學建模能力評價標準的缺失，很多中學無法對數學建模的教學效果進行科學地評價．注意到這一問題，新課標就數學建模能力的評價給出了明確的水平劃分，指出：“對于數學建模的評價，應該重視數學模型的形成過程和學生在此過程中的參與度，關注學生對問題中的數量關系以及數學模型中參數的意義、模型解的意義的理解．” 為了更好地對學生的數學建模能力進行評價以及揚長避短，因材施教地培養數學建模能力，我們需要一個科學的評價體系來對學生的數學建模能力進行客觀準確的評價．

4 國際比較測試項目對比分析

2017年新課標中指出：“幾次重大的國際數學教育比較研究，如國際內部審計教育伙伴(IAEP)、國際數學和科學測評趨勢(TIMSS)和國際學生評價項目(PISA)等都表明，一個國家的課程和教材對學生的學習和成就有重大的影響．”PISA和TIMSS是國際上兩個比較大型的測評研究項目，是現代教育測量的權威代表[6]．筆者特別對比研究了PISA和TIMSS項目，分別從項目概況，數學素養測評框架兩個方面進行分析．

(1)項目概況

國際學生評估項目(PISA)是由經濟合作與發展組織(OECD)實施，以15歲中學生為研究對象，測評他們在數學、科學和閱讀方面的素養所開展的具有周期性的國際比較研究項目．PISA項目每3年一次，輪流選取數學、科學和閱讀中的一個領域作為主要測評領域；每9年更新一次設計思路，調整測評框架，其中PISA2003, PISA2012, PISA2021測評的主要領域是數學．2019年5月，OECD公布了最新的PISA2021數學測評框架．

國際數學和科學測評趨勢(TIMSS)是由國際教育成就評價協會(IEA)自1995年起組織的大規模的數學和科學教育國際測評項目，每4年進行一次，包含TIMSS(4年級和8年級)和TIMSS -A(12年級)兩大系列．我國迄今還未正式參加過TIMSS -A測評項目，因此該項目的研究對于我國高中數學學科核心素養評價具有一定的借鑒意義．

(2)數學素養(特別是數學建模)測評框架

PISA2021對于數學素養的內涵表述為“數學素養是指個體在真實世界的不同情境下進行數學推理，并表達、應用和闡釋數學以解決問題的能力．它包括使用數學概念、過程、事實和工具來描述、解釋和預測現象的能力．它有助于個體作為一個關心社會、善于思考的21世紀建設性公民，了解數學在世界中所起的作用以及做出有根據的數學判斷和決定．”

圖2 PISA2021數學素養測評框架

PISA2021數學素養測評框架[7]如圖2所示，突出了“數學過程”中數學推理的核心地位，而數學推理貫穿數學建模的整個過程．與PISA2012數學素養測評框架中數學建模過程進行對比(圖3)，PISA2021將原來的方形模型改進為圓形模型，數學建模過程與數學內容環環相扣，更加突出數學建模是在使用數學知識與數學能力來更好地理解現實情境[8]．

TIMSS -A數學測評始于1995年，經歷了由最初的1995年不成型、2008年基本成型，發展到2015年基本定型的過程，主要包括內容領域與認知領域兩個維度，各維度都有相應的百分比．廖運章教授深入研究了TIMSS -A數學測評框架的變化趨勢[9]，筆者總結為如表1所示的TIMSS -A2015數學測評框架．

表1 TIMSS -A2015數學測評框架

TIMSS-A2015在應用領域中突出了對數學建模的要求，表現為表征/建模(用方程或圖象對問題情境建模，對給定的數學對象或信息建立等價表征)．

雖然PISA2021與TIMSS-A2015數學測評框架各有特點，但它們包含的內容和能力類別相似．PISA2021更加明確指出了具體的數學素養主題，包括三部分：數學素養的界定、數學素養的測試范圍及數學素養的評估，這些主題貫穿整個測評框架.TIMSS -A2015更側重于以課程作為研究的出發點，把學校的教學目標作為標準，包括內容和認知領域兩個維度，但是對核心素養沒有專門的體現．

5 對高中生數學建模能力評價的啟示

2017年新課標中對于高中數學課程內容突出函數、幾何與代數、概率與統計、數學建模活動與數學探究活動四條主線，特別地，數學建模素養的水平描述劃分為三個水平．喻平教授把三種水平更形象地劃分為知識理解(水平一)、知識遷移(水平二)、知識創新(水平三)，如表2所示．

表2 建模素養的三個水平

圖4 數學建模能力評價框架模型

基于PISA和TIMSS數學測評框架對比分析，筆者根據數學建模的特征從三個維度(內容維度、結構維度、水平維度)構建了高中生數學建模能力水平評價模型，如圖4．這個三維評價框架直觀形象地反映了數學建模能力的各個維度，也體現了學生在數學建模過程中的認知發展是由淺入深、具有層次性的．我們在設計學生數學建模能力測試試題時，可以將本評價框架模型作為參考標準，這樣測試試題與三個評價維度形成了對應關系． 國內對數學建模能力的評價體系的建立、測試試題與測試工具效度的分析、積累評價的實踐檢驗都值得我們不斷的完善和研究．希望數學建模作為數學與實際生活的一座橋梁，能夠激發學生的數學應用意識和應用能力，使學生在數學建模活動中真正體會和感受到數學的內在價值．