基于數學運算素養培育的教學實踐與思考
——以解析幾何中面積問題為例

廣東省汕頭市澄海華僑中學 (515800) 潘敬貞

廣東省東莞市麻涌中學 (523000) 駱妃景

廣東省佛山市順德區第一中學 (528300) 楊承根

1.引言

《高中數學課程標準(2017版)》明確提出六大核心素養，數學運算是六大核心素養之一.數學運算是學習數學的基石，也是解決數學問題的基本手段.具備一定的數學運算求解能力是獲取數學知識、有效參與數學活動，積累數學經驗的基本要求.數學運算能力的高低直接影響著數學學習效果，甚至是制約著學生深度學習數學的重要因素.近年來，高考題對數學運算素養的考查也擺在重要的位置，數學運算的重要性不言而喻.因此，在平日的課堂教學中如何利用教學內容為載體，培育學生的數學運算素養，是每一位一線數學老師都面臨的一個重要課題.數學運算，首先要明晰運算對象，理清求解思路，再設計運算思路并動手實踐，再優化運算過程，最后反思小結、積累經驗提升運算素養水平.本文以解析幾何中面積問題為載體，從明晰運算對象，理清求解思路，設計運算思路，學生動手實踐，變式訓練等角度開展教學實踐，旨在培育學生數學運算素養，最后提幾點教學思考供同行參考、交流.

2.解析幾何中面積問題

解析幾何是高中數學的核心內容，是高中數學教學的重點與難點，也是考查運算推理能力和運算求解能力的絕佳素材，同時也是培育數學運算素養的沃土.解析幾何中面積問題的求解重點考查運用代數方法研究幾何問題，主要涉及平面幾何的性質，直線方程，韋達定理，點到直線的距離公式，分類討論等解析幾何的核心內容以及利用基本不等式或函數單調性求最值，在此過程中運算推理尤為關鍵.近年來，解析幾何中有關面積問題(三角形和四邊形的面積)一直是高考命題的熱點，常以壓軸題的形式出現.

三角形面積問題是解析幾何中的基礎問題，相對復雜問題基礎問題的研究對象更加清晰，解題思路更加明確，更有利于訓練數學思維、培育數學素養，所以認為解析幾何中的面積問題(三角形和四邊形的面積)是培育數學運算素養的絕佳載體.

3.教學實錄

3.1 明晰運算對象，訓練數學思維

師：大家一起思考、討論一下ΔAOB的面積的求法.

師：很好，其他同學有不同的想法嗎？

生2：依題意可得橢圓C的焦點F1(-1,0)，F2(1,0)，直線l:y=x-1經過橢圓C的焦點F2(1,0)，所以ΔAOB分割為同底(OF2)的兩個三角形(ΔAOF2與ΔBOF2)面積之和.

師：非常棒！還有嗎？

生3：設直線AB與y軸的交點為P，所以ΔAOB分割為同底(OP)的兩個三角形(ΔOBP與ΔAOP)面積之和.

師：非常棒！

設計意圖:直接已知一個較為簡單的橢圓標準方程和直線相交，要求兩個交點(A,B)和坐標原點O的連線所圍成三角形(ΔAOB)的面積，這是一個很簡單很基礎的問題，絕大部分學生都能參與思考和解答的問題，保證了學生的參與度.同時也有利于學生研究問題對象，學生間的交流，探索求解思路有更多的思想共鳴，更有利于交互想法，能很好的營造一個和諧的學習氛圍.讓學生有更多的思考和交流機會，有利于理清問題求解的思路和訓練學生的數學思維.

3.2 設計運算思路，培育數學運算素養

師：對于ΔAOB的面積求解同學們提供了三種解決思路，三種思路大家都動手試求解一下.

(大概過了10分鐘左右，學生展示求解過程)

師：大家展示一下解答過程，誰先來展示以邊AB為底，以點O到直線AB的距d為高的求解過程.

師：這位做的很好，其他同學有不同的求法嗎？

生5：我是聯立解方程求出A,B兩點的直角坐標，再利用兩點間的距離公式求出AB的長度.

師：聯立直線與曲線方程消元后得到的一元二次方程容易解的，求兩點的坐標也不失為好選擇，所以我們解題時如果能夠根據題意和自己的長項選擇合適的方法，可優化運算，簡化解題過程，提高解題效率.

師：誰來展示一下ΔAOB分割為同底的兩個三角形面積之和.

生6：我是將ΔAOB分割為同底(OF2)的兩個三角形(ΔAOF2與ΔBOF2)面積之和.

生7：我是先設直線AB與y軸的交點為P，再將ΔAOB分割為同底(OP)的兩個三角形(ΔOBP與ΔAOP)面積之和.

師：非常棒，這兩個思路的本質是一樣的，他們的解答過程都很簡潔，更能優化運算過程，是很不錯的方法.有時還可以利用分割法即把所求的三角形面積分成兩三角形面積之差，但分割法解決此類面積問題僅限于直線過定點，且三角形的頂點中，有一個頂點坐標已知.這三種解答思路都是解決此類三角形面積問題的通性通法，大家要熟練者三種思路的特點，在不同的問題情境中選擇合適的求解思路和解答策略.

設計意圖:讓學生有更多的機會進行實踐體會，對自己的想法和他人的好解法要親自動手獲取最真實的體驗，同時在展示求解過程實現相互學習、相互提升的目的.

3.3 變式訓練，發展數學運算素養

師：請大家動手求解變式1.

生8：因為已知直線l過F1，所以只需求出直線l的斜率就能利用點斜式得到其方程.根據問題1的解題經驗，利用分割法求ΔABF2的面積.

師：非常棒，這位同學在設直線的點斜式方程時很細心，先考慮直線斜率不存在的情況，這是很多同學容易遺漏的，還有其他解法嗎？

師：學以致用，非常好，用分割法求面積，并反設直線方程簡化解答過程，大大減少了運算量，有效回避討論直線的斜率是否存在，這是我們必須要熟練掌握的方法，這位同學非常善于靈活運用學習經驗，選擇最優化的解題思路值得我們為他點贊！

設計意圖:在問題1的基礎上，做適當的變式，讓學生根據三角形的面積求法列有關方程并求解，進一步深化對三角形面積問題的理解以及理清解題思路，鞏固所學知識.同時引導學生回顧求過x軸上的定點的直線方程的兩種常用方法，深刻體會兩種方法的優劣，培育學生優化運算的意識，促進學生數學運算素養的發展，并為下面更一般化的變式解答作鋪墊.

變式2 設橢圓C的左右焦點分別為F1、F2，已知過點F1的直線l與橢圓C有兩個不同的交點A、B，求ΔAOB面積的最大值，并求出此時直線l的方程.

師：已經非常很棒了.解析幾何中，面積最值問題是考題中的熱點問題，此類問題涉及的知識點多，綜合性強，運算量大，這位同學能做到這里已經很棒了，解答的思路清晰明了，能圍繞目標合理轉化，反設直線方程，有效的優化運算過程，利用分割法將三角形的面積構造自變量為m的函數，我們為這位同學點贊.那接下來怎樣求S(m)的最大值呢？哪位同學來挑戰一下？

生11：我利用換元法，利用基本不等式最后取不到等號，所以利用函數單調性求S(m)的最大值.

師：很好，非常很棒！換元法是一種非常重要的方法，換元法有效的將復雜的問題轉化為熟悉且簡單的問題進行解決，這位同學的解法就這樣，很巧妙的將問題解決了.同時，這位同學很細心，在利用基本不等式求解時要注意等號成立這一重要條件，大家可以學習借鑒.

設計意圖:變式2以三角形面積最值為研究對象，提升了問題的復雜性，增加求解難度，將課堂的學習推向高潮，促進學生運算素養水平的提升，提高處理問題和解決問題能力等.

師：變式3對問題1中的橢圓進行一般化，探究一般性的結論.在變式4是在變式3的基礎上，把直線l變為與橢圓相交的任意直線，這樣就更具一般化，由于時間關系，大家回去可以自行探究，下一節課我們再讓同學來展示探究結果.

設計意圖:更具一般化的探究，尤其是涉及字母運算，對學生來說是極大的挑戰，同時也是綜合提升學生的數學運算素養的好素材.考慮課堂的時間成本，同時又可以讓不同層次的學生得到充分的發展，因此給出變式3和變式4供他們課后探究、思考.下一節課通過展示探究成果激發學生的求知欲，全面發展學生的數學素養.

變式5 (2008·全國Ⅱ理21)如圖1，設橢圓中心在坐標原點，A(2，0)，B(0，1)是它的兩個頂點，直線y=kx(k>0)與AB相交于點D，與橢圓相交于E、F兩點．

圖1

(Ⅰ)略；(Ⅱ)求四邊形AEBF面積的最大值．

師：有關四邊形面積最值問題，通常利用分割法轉化為三角形面積最值問題，如果四邊形的對角線相互垂直，其面積為兩條對角線長度的積的一半，然后將面積最值問題轉化為距離最值問題，如2016年高考全國Ⅰ卷理20題.本題給我們的啟示是：解決一個復雜的問題可以通過合理的轉化為一個基本的問題，問題是相互聯系的.大家在審題時要善于剖絲剝繭，發現題目中的“蛛絲馬跡”，然后將其聯系起來作為解題的線索，最后將問題轉化基本問題加以解決.

設計意圖:為了讓學生多題歸一，進一步鞏固上述研究方法和解題策略，將變式問題延伸到求兩條直線與橢圓相交的四個交點所圍成的四邊形面積，因此得到變式5.通過對變式5的分析與解答，可讓學生體會數學問題之間盤根錯節的關系，加強知識橫向聯系，把散落的考題連成線、鋪成面、織成網，凸顯問題本質，讓學生在“變”中理解“不變”的本質，進一步提高運算能力、處理問題和解決問題的能力.

3.4 高考鏈接

(Ⅰ)求E的方程；(Ⅱ)設過點A的直線l與E相交于P,Q兩點，當ΔOPQ的面積最大時，求l的方程.

(Ⅰ)求M的方程；(Ⅱ)C,D是M上的兩點，若四邊形ABCD的對角線AB⊥CD，求四邊形ABCD面積的最大值.

4.(2016·課標卷Ⅰ理20)設圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過點B(1,0)且與x軸不重合，l交圓A于C,D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E．

(Ⅰ)證明|EA|+|EB|為定值，并寫出點E的軌跡方程；(Ⅱ)設點E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M,N兩點，過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍．

(Ⅰ)求C的方程，并說明C是什么曲線；(Ⅱ)過坐標原點的直線交C于P，Q兩點，點P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連結QE并延長交C于點G.(ⅰ)證明：△PQG是直角三角形；(ⅱ)求△PQG面積的最大值.

設計意圖:高考題是命題專家的智慧結晶，高考題不僅有很好的選拔功能，同時也有很好的教學功能，是教與學的好素材.因此有效利用、激活真題，針對訓練，鞏固所學，增強信心，訓練思維，培育數學素養和發展數學素養水平.

4.教學思考

4.1 課堂是思想交流、思維提升的場所

古人云：學而不思則罔.其實數學的教學就是數學思維的活動.45分鐘，時間寶貴，要盡量進行更高級更有意義的數學活動.教師的思考、教師的講解代替不了學生的思維，因此，教師要精心設計，科學引導學生，營造和諧的學習的氛圍讓學生有更多安靜思考和持續的思考的機會，讓更多學生的想法得到充分的表達，讓學生在探討問題解決的思路與求解策略中思維得到訓練，解決問題的智慧得到增長.課堂上，教師要做好充分準備，要相信學生，教師要多傾聽學生的想法，學生更是要學會傾聽老師和同學的觀點和含義，最終要讓“學生成是課堂的主體，教師是課堂的主導”真正落到實處.

本節課，首先給出一個核心但又很基礎、較為簡單的問題作為切入點，針對三角形的面積問題，讓學生充分思考、表達自己的想法，每個解題思路學生都能體會、有共鳴，課堂氛圍輕松、和諧，學生思維活躍，老師的話語不多，但取得實實在在的效果.

4.2 節奏慢一點，讓學生多一點動手實踐和展示的機會

古人亦云：思而不學則殆.教師的解答，個別優等生的展示，提升不了全體學生的數學能力，最終只能靠學生自己通過努力實踐得到提升.人們常說，百聽不如一見，百見不如一摸.“思”是“學”的出發點，“學”是“思”的落腳點，數學學習的理想狀態應該是自己主動去思考問題并動手推理實踐.只有親身經歷，動手實踐才是最真實的體驗.知識的理解只有在運用中深化，數學能力只有在解決問題的過程中得以提升，因此在明晰運算對象、理清解題思路的基礎上，讓學生自己動手解問題非常必要，非常關鍵.因此在教學過程中，節奏可以慢一點，讓學生有更多思考的時間，有更多實踐體驗和展示的機會.解題思路雖然相同，但求解題策略也有所不同，通過展示、分享求解過程達到相互學習相互提升的目的.學習數學，不經歷“山重水復疑無路”后的苦苦思索，怎能獲得“柳暗花明又一村”的豁然開朗與心曠神怡，只親歷解題實踐的人方可體會個中的酸甜苦辣，以及之后的回味無窮.

本節課，在理清解題思路之后，對每個解題思路每個學生都要動手解答，解析幾何解答多動手，完整的解答很重要，對自己的想法或他人的好解法只有動手實踐的體驗才最真實.運算能力只有在解答中得到提升，在分享、交流中，優化解答策略，增長解題智慧.

4.3 學數學，需要持續思考

教師要保證學生有安靜、獨立和長時思考的機會，我國著名數學家陳省身先生認為：數學是自己思考的產物．首先要自己能夠主動思考，然后與他人交換想法，這樣的數學學習會有很好的效果…．學習數學只有“為伊消得人憔悴，衣帶漸寬終不悔”的精神方能獲得“慕然回首，那人卻在燈火闌珊處”的體驗.

本節課的各個環節學生都有充分的時間思考和表達、展示的機會.變式3和變式4是對問題1進行一般化的拓展，考慮課堂時間成本和思考的延續性，讓學生課后動手探究，高考鏈接也是為學生提供在不同問題情境中思考問題、解決問題，訓練思維和提升素養的機會.

5.結語

高考解析幾何解答題的成功求解運算能力是關鍵.提升數學運算素養水平并非一日之功，需要持續思考、勤于動手實踐.基于核心素養的課堂教學是以知識為載體，以培育和發展學生核心素養為課堂教學的出發點和落腳點.基于核心素養的課堂教學，需要教師充分了解學生，悉學生的成長規律，了解學生思維習慣，了解所教學生的認知區和最近發展區，選編出符合學生需要的課堂教學問題和變式題，還要求教師有較高的課堂駕馭能力等.基于核心素養的課堂教學向教師提出了更高的要求，我們只有不斷地學習，了解教育教學前沿理論知識，深刻理解課改精神，熟悉課程標準與教材內容，熟悉高考命題規律，掌握命題技能，勤于實踐善于反思，才能真正的有效開展“基于核心素養的課堂教學”教學實踐，培育學生數學核心素養方可落地生根.