也談一道競賽題的解法與推廣

貴州省畢節(jié)梁才學(xué)校 (551700) 翁文建

題目(2018年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽天津市預(yù)賽題)已知實數(shù)x,y滿足x2+y2=20，求p=xy+8x+y的最大值.

本題目的一般解法是消元法和換元法化為一元方程或一元函數(shù)求值域，即下面的分析1—分析3.

題目的另一個不易想到的方法是通過放縮使目標(biāo)函數(shù)與約束條件滿足不等式xy+8x+y≤λ(x2+y2)+μ(λ>0)，且等號成立，達到整體消元求最大值.而用什么不等式放縮是很難想到的，本文用待定系數(shù)給出幾種解法，并對該題做部分推廣.

由于xy+8x+y≤λ(x2+y2)+μ?λx2+λy2-xy-8x-y+μ≥0是可解二次不等式(方程)，是可用基本的求根公式或配方法化為f2(x,y)+kg2(x,y)≥0(k>0)的.

解法1：令xy+8x+y≤λ(x2+y2)+μ(λ>0)，即λx2+λy2-xy-8x-y+μ≥0，即λx2-(y+8)x+λy2-y+μ≥0，對應(yīng)方程根

解法4：在解法3中，由25(x-4)2+25(y-2)2-20(x-4)(y-2)≥0得5(x-4)2+5(y-2)2-4(x-4)(y-2)≥0，即(x-4)2+4(y-2)2+4(x-4)2+(y-2)2-4(x-4)(y-2)≥0，即(x-4)2+4(y-2)2+[2(x-4)-(y-2)]2≥0，即(x-4)2+4(y-2)2+(2x-y-6)2≥0，

上述待定系數(shù)法可推廣到三元上，只是運算太繁，只舉一略去繁瑣運算的例.

例已知實數(shù)x,y,z滿足x2+y2+z2=14，求p=xy+yz+zx+3x+12y+21z的最大值(文[1]的問題9).

總之，把問題轉(zhuǎn)化為特殊的完整二元二次不等式Ax2+Ay2+Bxy+Dx+Ey+F≥0或方程問題,用基本的求根公式解決.