例析函數性質的理性之美

北京市第一0一中學懷柔分校 (101407) 李加軍 馬 沖

我國《普通高中數學課程標準(2017年版)》明確指出:"在學習數學和應用數學的過程中,學生能發展數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析等數學學科核心素養."

課程目標首先要求學生在學習數學的過程中掌握數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗(簡稱“四基”)；其次，在應用數學的過程中提高從數學角度發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力(簡稱“四能”)；進而在學習數學和應用數學這兩個過程中發展數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析等數學學科核心素養；最后，能夠會用數學眼光觀察世界，會用數學思維思考世界，會用數學語言表達世界(簡稱“三會”)．數學學科核心素養是課程目標的集中體現，“三會”是數學學科核心素養的外在表現．

函數是現代數學最基本的概念，函數性質的應用是貫穿高中數學課程的主線.本文通過對函數性質的應用,來闡述如何將數學核心素養真正落實到基礎教育的主陣地——課堂教學.

一、直觀發現函數性質，開門見山之美

(A)充分必要條件 (B)充分而不必要條件

(C)必要而不充分條件(D)既不充分也不必要條件

-f(b)=f(-b),有a≥-b，即a+b≥0．故選(A)．

例2 (2012全國聯賽試題)設f(x)是定義在R上的奇函數，且當x≥0時，f(x)=x2，若對任意的x∈[a,a+2]，不等式f(x+a)≥2f(x)恒成立，則實數a的取值范圍是.

例3 (2017全國聯賽試題)設f(x)是定義在R上的函數，對任意實數x有f(x+3)f(x-4)=-1，又當0≤x<7時，f(x)=log2(9-x)，則f(-100)的值為.

(A)0 (B)m(C)2m(D)4m

評注：課程目標要求會用數學眼光觀察世界．在上述4個例子中，根據所掌握的基礎知識，通過敏銳觀察，發現所研究函數具有的奇偶、單調、周期、對稱等性質，結合函數性質快速合理地解決問題，閃現于眼前一種開門見山之美感．

二、深刻挖掘函數性質，曲徑通幽之雅

例5 (2017清華大學領軍計劃試題)滿足(3x+y)5+x5+4x+y=0的點(x,y)( ).

(A)在一條直線上 (B)在一條拋物線上

(C)有有限個 (D)有無限個

解:由(3x+y)5+x5+4x+y=0得(3x+y)5+3x+y=-(x5+x)，令f(t)=t5+t，則f(t)在R上是增函數且為奇函數，于是由f(3x+y)=-f(x)得f(3x+y)=f(-x)，所以3x+y=-x，即4x+y=0，故答案選(A)(D)．

例6 (2015四川省預賽試題)設x+sinxcosx-1=0，2cosy-2y+π+4=0，則sin(2x-y)的值是.

例7 (2008全國聯賽試題)設f(x)是定義在R上的函數，若f(0)=2008，且對任意x∈R，滿足f(x+2)-f(x)≤3·2x，f(x+6)-f(x)≥63·2x，則f(2008)=.

解:令g(x)=f(x)-2x，則g(x+2)-g(x)=f(x+2)-f(x)-2x+2+2x≤3·2x-3·2x=0，于是g(x+6)-g(x)=f(x+6)-f(x)-2x+6+2x≥63·2x-63·2x=0，所以g(x+2)≤g(x)，g(x+6)≥g(x)，故g(x)≤g(x+6)≤g(x+4)≤g(x+2)≤g(x)，所以g(x+2)=g(x)，所以g(2008)=g(0)=f(0)-1=2007，所以f(2008)=g(2008)+22008=22008+2007．

評注：課程目標要求用數學思維思考世界．上述4個例子中，通過對題目條件和結論適當變形，找到隱含的函數結構及相應的性質，然后利用函數性質對題目進行詳細剖析，得到問題的結果，使人享受到曲徑通幽之快樂．

三、靈活運用函數性質，豁然開朗之妙

gmin(x)=0，于是fmax(x)+fmin(x)=2．

(A)0 (B)2 (C)4 (D)前三個答案都不對

例12 (2017清華大學領軍計劃試題)若方程有2|x-1|+acos(x-1)=0唯一解，則( ).

(A)a的值唯一 (B)a的值不唯一

(C)a的值不存在 (D)以上答案都不對

解:令f(x)=2|x-1|+acos(x-1)，因為f(2-x)=f(x)，所以f(x)關于直線x=1對稱，所以f(x)的唯一零點只可能是1，即f(1)=0，所以1+a=0，解得a=-1，此時f(x)=2|x-1|-cos(x-1)≥1-1=0，等號當且僅當x=1取到，即函數f(x)有唯一零點1，即方程有2|x-1|+acos(x-1)=0唯一解，故選(A)．

例13 (2012河南省預賽試題)若α是方程xex=2011的解，β是方程xlnx=2011的解，則αβ=.

解:令f(t)=tet，易知f(t)=tet在(0,+)上是增函數，由條件知αeα=2011且βlnβ=2011，即αeα=2011且(lnβ)elnβ=2011，所以f(α)=f(lnβ)，故α=lnβ，所以αβ=βlnβ=2011．

例14 (2018中科大自主招生試題)已知定義在(0,+∞)上的函數f(x)是單射．對任意x>0，有xf(x)>1，f(xf(x)-1)=2，則f(2)=.

評注:課程目標要求會用數學語言表達世界．數學的應用性使得數學煥發出無窮的魅力．上述7個例子說明有意識地培養靈活的函數觀念，積極解決數學自身問題，對提高一個人的數學素養有著極大的幫助．深刻認識題目中所蘊含的函數性質的本質，會讓人體驗到豁然開朗之愉悅．