巧用多元表征探究數學本質
——以一道高考經典問題為例

廣東省東莞實驗中學 (523120) 薛新建

1.問題的引入

《普通高中數學課程標準(2017年)》對于高中數學課程性質特別指出，“數學不僅是運算和推理的工具，還是表達和交流的語言”，數學課程承載著“引導學生會用數學眼光觀察世界，會用數學思維思考世界，會用數學語言表達世界”這一重要使命.正確理解問題，用已有的知識去表征問題是解決問題的重要前提，而用不同的知識多角度表征解決同一問題，既是探索數學問題本質的需要，也是培養學生思維能力，實踐能力和創新能力的重要途徑.

表征是認知心理學中的一個重要概念，是指知識在學習者頭腦中的呈現和表達方式，因此，對問題的表征，既取決于問題本身，又取決于學習者對問題的理解.常見數學問題的表征形式有文字表征，符號表征，圖形表征和操作表征四種.同一種表征形式，由于采用的數學工具不同，又會形成多種方法.各種表征形式互有優劣，解題時可以把各種表征形式相結合并根據需要進行轉換，形成問題的多元表征.

2.多元表征的相關理論

希伯特(Hiebert)和卡彭特(Carpenter)認為，一個數學概念或事實只有成為內部網絡的一部分的情況下，才是真正被理解了.而理解的程度又取決于聯系的數目和強度.喻平教授提出的CPFS理論表明，數學教學的重要任務是完善學生的概念域和概念系，命題域和命題系.概念或者命題之間的等值抽象關系，強抽象關系，弱抽象關系或者廣義抽象關系等關系本身就蘊含著思維能力和創新能力，因此對一道題的多維度解讀，深層次發掘，各種表征方式結合轉化與互相比較，既是解決問題的需要，也是構建數學知識網絡和完善數學認知結構必不可少的過程.

波利亞在解題表中的一些步驟，如在弄清條件和結論后，要追問自己：你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？有沒有和這個問題相關且早已解決的問題？你可以利用它的結果嗎？你能不能重新敘述這個問題？你能不能用不同的方法重新敘述它？這些問題都引導我們在面對一個新的問題時，應該從熟悉的知識中尋找思路并努力嘗試用不同的方法，從不同的角度去表征問題，這對于問題的解決是非常有用的.

3.案例分析

分析：該題背景非常經典，即三角形中已知一角及其對邊展開設問，相同條件背景分別在全國Ⅰ卷2011(第16題)，2012(第17題)，2014(第16題)，2015(第16題)，2016(第17題)，2017(第17題)反復出現，設問類型包括求三角形周長(或其最值)，求三角形面積(或其最值)，求邊(或其線性組合)等各種變式.出鏡率如此之高，究其原因，該條件背景有如下特點：(1)條件簡單易于入手，可以考察學生基礎知識，基本能力，基本思想方法和基本活動經驗，符合高考試題基礎性和一般性特點；(2)條件屬于知識點交匯處，可以用解三角形，平面幾何，解析幾何，向量，參數方程，極坐標方程等不同模塊的知識來表征解決問題，符合高考試題綜合性和開放性特點；(3)該條件下，學生可以創建不同模型去刻畫動量變化，又有足夠的創造性空間可以給學生去發掘，符合高考探究性和創新性特點.正是基于上述特點，該條件背景能夠在新課改從能力立意到素養導向的轉變中長盛不衰.

下面以多元表征的視角來展開對該題的多維探究.

3.1 符號表征視角

符號表征是對問題中的元素及其關系符號化，以字母或者數學符號的形式予以表征，常見形式如方程(或等量關系)，不等式，函數解析式，向量(符號形式)，公式，定理等.該題條件就是以符號形式出現，因此，用符號形式表征問題是本題首選.而對于三角形中邊角數量關系常用表征工具是正余弦定理，因此下述兩種方法是最常見方法.

3.2 圖形表征視角

圖形表征是指對問題中的元素及其關系幾何化或者圖表化，以幾何元素如點，線，面，角，幾何體等，以及圖形，圖表，圖象，框圖，數軸(坐標軸)等直觀形象地表征問題的方式.本題中涉及三角形的邊和角的問題，這些都是幾何元素，因此用圖形表征解決該問題也是情理之中.

圖1

圖2 圖3

3.3 多元表征視角

多元表征即根據題目條件，靈活運用多種表征形式，把文字表征的準確性，符號表征的簡潔性和圖形表征的直觀性相結合，利用不同數學工具，形成靈活多樣的解題思路.

圖4

上述解法把問題轉化成了直線與圓的位置關系的問題，主要側重幾何法，如果直線采用參數方程的話，則更加側重代數法.

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4.案例反思及教學建議

在從多個角度，選用不同知識對同一道題目進行多元表征后，有如下總結和發現：

(1)多元表征的過程就是對問題思考和認識的過程.在表征問題的不同階段，我們既會面臨表征方式的選擇與比較，也會面臨表征方式的轉化與結合.例如，表征4與表征5體現了探索C點軌跡的定義法和直接法，是相同思路下的不同方法，解題時既可以選擇從數的角度去量化邊角關系，也可以從形的角度去圖化邊角關系，量化嚴謹全面，圖化形象直觀，二者都可以刻畫三角形邊角之間的變化關系，究竟哪個更好一些？顯然不能一概而論，要因題而異，因需而異.再如，在表征8中，先從圖形表征發現，可以用直線交點去刻畫A點位置，進而用符號表征從方程的角度去探索求解，是典型的解析幾何解題的思路與方法，通過表征形式的及時轉換結合達到最終解題的目的.

(2)多元表征過程中體現了多樣的數學方法.本案例中就包含了建模法、換元法、圖象法(坐標法)、比較法、向量法、構造法、參數法等方法.表征方法繁多的原因在于對邊，角，頂點這些變量的選擇性表征，角定邊動就形成了表征3；邊定角動就形成了表征4；圍繞點B的運動變化展開思考就形成了表征6；圍繞點A的運動變化展開思考就形成了表征8.可見不同表征形式的選擇是出于解決問題的需要，是為了把問題著力點突出展示.

(3)多元表征過程中體現了豐富的數學思想.本案例中就體現了函數與方程的思想(表征1，表征2，表征8，表征9，表征10)，數形結合的思想(表征3，表征4，表征5，表征6，表征7，表征8)，轉化與化歸的思想(表征3，表征4，表征6，表征7)，特殊與一般的思想(表征3，表征4，表征6)等數學思想.數學思想的反復體驗是發展學生學習能力，實踐能力和創新意識的重要途徑.

(4)多元表征的目的是為了發現問題的本質.詩云“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”，一道美景，觀察的角度不同會得到不一樣的美的享受.同樣的，對于一個數學問題本質的探究，也需要通過不同的表征形式對其刻畫，才能更加客觀和全面.例如本例中通過對十種表征總結發現，雖然表征問題的方法和思想多種多樣，但最終落足點無非兩種：要么找到三角形邊與角的量化關系，要么找到符合題目邊角條件的三角形.這二者其實就是該問題的代數與幾何本質.

鑒于上述思考，我們對數學教學提出建議：重視多元表征的訓練，既要有意識地在課堂預設中引導學生多角度表征刻畫數學問題，也要注意課堂中多元表征思維的即興生成；重視變式題組的訓練，一題多變既是對問題全面理解的必要引導，也是數學知識結構構建最有效的途徑；重視階段性總結，章節總結與跨章節總結，知識結構的系統化與多元表征互為表里，相互促進，二者結合拓展了對數學知識理解的廣度和深度.