那些年，我們一起追過(guò)的分離參數(shù)
——談?wù)劜坏仁胶愠闪?wèn)題何時(shí)不分離參數(shù)

廈門(mén)大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué) (363123) 田富德

含參不等式恒成立問(wèn)題，能很好的考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論想等思想方法，能很好的考查邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力.因此，該問(wèn)題一直是各省市質(zhì)檢、高考的熱點(diǎn)，雜志也掀起研究含參不等式恒成立的熱潮，不少文章對(duì)不等式恒成立問(wèn)題的解法進(jìn)行歸納，對(duì)分離參數(shù)的方法進(jìn)行探討.顯然，分離參數(shù)法是解決含參不等式恒成立的主要方法、重要方法、常用方法，這類問(wèn)題幾乎都可以用分離參數(shù)法來(lái)解決，但也并不是所有的試題都適合用分離參數(shù)來(lái)解決，也并不是所有的試題都可以用分離參數(shù)來(lái)解決.

筆者本著以溯本求源為出發(fā)點(diǎn)，結(jié)合課堂教學(xué)實(shí)際，有以下兩點(diǎn)思考與大家共勉.含參不等式恒成立問(wèn)題為什么要分離參數(shù)？含參不等式恒成立問(wèn)題什么時(shí)候不分離參數(shù)？

一、為什么要分離參數(shù)

不等式恒成立問(wèn)題的本質(zhì)是求函數(shù)的最值問(wèn)題，求函數(shù)最值需要研究函數(shù)的單調(diào)性.而參數(shù)可能對(duì)函數(shù)的單調(diào)性會(huì)產(chǎn)生影響，故求含參函數(shù)的最值常常要對(duì)參數(shù)的討論.分類討論恰是學(xué)生學(xué)習(xí)的薄弱點(diǎn)，而分離參數(shù)之后再構(gòu)造函數(shù)，可以有效避免參數(shù)對(duì)函數(shù)單調(diào)性的影響.因此，分離參數(shù)法成為了含參不等式恒成立的常用解法，甚至是首選解法.

綜上所述，m的取值范圍為m<1.

綜上所述，m的取值范圍為m<1.

二、什么時(shí)候不分離參數(shù)

縱然分離參數(shù)萬(wàn)般好，可是仍有許多含參不等式恒成立的試題不宜使用分離參數(shù)法.

1.參數(shù)無(wú)法分離或分離后函數(shù)復(fù)雜

2.一次函數(shù)(含常函數(shù))

例4 對(duì)于任意的m∈[-2,2]，不等式4x2-8mx+7m-34>0恒成立，求x的取值范圍.

點(diǎn)評(píng)：注意到不等式是對(duì)任意的m∈[-2,2]恒成立，故應(yīng)將m視為變量，構(gòu)造函數(shù)g(m).而g(m)或是一次函數(shù)或是常函數(shù)，其在區(qū)間[-2,2]的圖象為一條線段，要使原不等式恒成立，即讓該線段在m軸(橫軸)上方，故只需保證線段的兩個(gè)端點(diǎn)落在橫軸上方，便解之.

有不少老師將這種方法稱為變換主元法，筆者則認(rèn)為本例主元本身就是m，不等式是對(duì)于m的取值恒成立，顯然m才是變量，而x則為參數(shù).原不等式可化為4x2-34>(8x-7)m，若要對(duì)不等式分離參數(shù)，即要對(duì)上不等式兩邊同除以8x-7，顯然需要討論8x-7其值正、負(fù)、零的三種情況.分離參數(shù)其目的是為了減少討論(或是避免討論)，而本例若要分離則增加了討論，故不適合分離.

3.部分二次不等式

例5 關(guān)于x的不等式x2-2mx+1>0恒成立，求m的取值范圍.

解析：依題意得，Δ=(2m)2-4×1×1<0，解得-1

點(diǎn)評(píng)：要使得原不等式恒成立，等價(jià)于函數(shù)y=x2-2mx+1的圖象恒在x軸上方，即對(duì)應(yīng)二次方程判別式小于零.二次含參不等式在R上的恒成立問(wèn)題，首選判別式法，不宜采用分離參數(shù)法.

例6 對(duì)于任意的x∈[-2,2]，不等式x2-2mx+m-5<0恒成立，求m的取值范圍.

例7 對(duì)于任意的x∈[-2,2]，不等式-x2-2mx+m+5>0恒成立，求m的取值范圍.

點(diǎn)評(píng)：不等式恒成立問(wèn)題的本質(zhì)是求解函數(shù)的最值.給定封閉區(qū)間，對(duì)于開(kāi)口向上的拋物線其最大值顯然出現(xiàn)在區(qū)間的端點(diǎn)處，如例6；對(duì)于開(kāi)口向下的拋物線的最小值顯然出現(xiàn)在區(qū)間的端點(diǎn)處，如例7.雖然最值的位置不確定，但對(duì)于恒成立問(wèn)題，只需保證可能成為最值的函數(shù)值能成立即可.

對(duì)于例5、例6和例7，倘若對(duì)原不等式進(jìn)行分離參數(shù)，避免不了對(duì)自變量x的討論，分離顯得多此一舉、化簡(jiǎn)為繁.

4.分離后沒(méi)有最值或?qū)瑓⒑瘮?shù)單調(diào)性了然于胸

例8 當(dāng)x≥0時(shí)，關(guān)于x的不等式ex-1-x-ax2≥0恒成立，求a的取值范圍.

解法1：設(shè)f(x)=ex-1-x-ax2(x≥0)，則f′(x)=ex-1-2ax，f″(x)=ex-2a.

解法2：當(dāng)x=0時(shí)，原不等式成立.

點(diǎn)評(píng)：解法2使用了分離參數(shù)法，過(guò)程中也用到了洛必達(dá)法則，一方面，中學(xué)數(shù)學(xué)教材并沒(méi)有給出洛必達(dá)法則，另一方面，考生若在高考使用洛必達(dá)法則，也可能無(wú)法得滿分.因此，考生在最好不要使用解法2進(jìn)行作答，命題老師更不能將解法2作為試題的參考解答.故對(duì)于本例，顯然適合選擇解法1，直接構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)討論其單調(diào)性.對(duì)于解法1，如何確定參數(shù)的臨界點(diǎn)是解題的一個(gè)難點(diǎn).那么什么時(shí)候選擇直接構(gòu)造函數(shù)，又什么時(shí)候分離參數(shù)后再構(gòu)造函數(shù)呢？雖然我們無(wú)法短時(shí)間快速判斷分離后的函數(shù)有沒(méi)有最值，但遇到定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間的函數(shù)就要小心了.在考場(chǎng)上考生沒(méi)有太多時(shí)間對(duì)各種方法進(jìn)行嘗試，一般情況下，作為全卷的壓軸題，分離參數(shù)極可能不可行，可能所構(gòu)造函數(shù)沒(méi)有最值，也可能所構(gòu)造函數(shù)較為繁雜.如果考生能對(duì)參數(shù)臨界點(diǎn)了然于胸，那么直接構(gòu)造函數(shù)比較合適.

每年的高考試題、各地質(zhì)檢試題，新型層出不窮.考生想要在考試中快速選擇適合的方法，輕松解決各類恒成立問(wèn)題，只是“紙上談兵，死記方法”，顯然是不行的，考生需要通過(guò)做一定量的題，多總結(jié)思考才能找到題感，以不變應(yīng)萬(wàn)變，迅速判斷是否適合分離參數(shù)來(lái)解題.作為教師，更應(yīng)該多解題命題，注重一題多解和多題一解，對(duì)各類題型進(jìn)行歸納總結(jié)、拓展延伸，才能站在解題的至高點(diǎn)上更好的引領(lǐng)學(xué)生.