一道模考壓軸小題引發的思考

上海市虹口高級中學 (200434) 李雪嬌

立體幾何是發展學生空間想象能力與邏輯推理能力的重要載體．在高考中，立體幾何內容不僅出現在解答題中，也出現在客觀題中．在高考數學的客觀題中，更加注重從幾何角度考察學生的思維水平及直觀想象、邏輯推理等核心素養．

本文從2019學年上海市虹口區高三數學一模試卷中的一道選擇題出發，談談對立體幾何教學的思考．

一、試題呈現

題目如圖1,正四面體ABCD的體積為1，O為其中心，正四面體EFGH與正四面體ABCD關于點O對稱，則這兩個正四面體的公共部分的體積為( ).

圖1

本題全區均分1.85分，難度系數0.37.但因為是選擇題，不排除有不少考生是猜對的．筆者統計了自己任教班級學生的答題情況，均分也正好是1.85分，在答對的同學中，僅有4位同學有想法．試想一下，如果將本題改為填空題，可能會更加慘不忍睹！

二、試題賞析

本題依托基本立體圖形，在考查正四面體的基本性質、體積計算等“四基”基礎上，考查直觀想象、邏輯推理、數學運算等核心素養，以及綜合運用數學思想方法分析問題和解決問題的能力．試題情境新穎，突出立體幾何的本質特征，對空間觀念與空間度量計算均有較高的要求．該題還對部分學生過度依賴向量法，起到了很好的糾偏作用．雖然本題得分率不甚理想，但它對立體幾何的復習備考具有較好的指導意義，值得細細品味！

三、解法探究

思路一：以退求進，從高維向低維“退”

在立體幾何中，將“三維空間”的問題“退”到“二維空間”的問題，運用“復雜問題簡單化”、“以退求進”的思維策略和類比思想是解決空間圖形問題的重要思想方法．

分析：從三維向二維后退，先求解一個相類似的平面幾何問題：如圖2,正三角形ABC的面積為1，O為其中心，正三角形DEF與正三角形ABC關于點O對稱，則這兩個正三角形的公共部分的面積為( ).

圖2

下面再回到原題：

圖3

評析：通過類比相應的平面幾何問題的求解，啟發思維，找到解決問題的思路，讓學生學會用已知來發現未知，用數學的思維思考世界．

思路二：構造模型，為正四面體尋根

圖4

評析：本題如果就題解題(不化歸為正方體)，對學生的空間想象與推理能力均有較高要求，而將正四面體ABCD補形為正方體，問題就變得直觀、清楚了．將正四面體問題化歸為正方體中的問題，是一種“解題歸根”的方法，正方體就是正四面體的根，而且該方法還給出了一種“求棱長為a的正四面體外接球的體積”的較好的思路．

尋根正四面體(以下簡稱體Ⅰ)尋根到它的外接正方體(以下簡稱體Ⅱ)，“元素”之間的對應有以下的主要關系：

(1)體Ⅰ的6條棱，分別來自體Ⅱ6個面的6條面對角線；

(2)體Ⅰ的4個面，分別是體Ⅱ共面的3條面對角線確定的截面；

四、教學啟示

1.滲透立體幾何研究方法，促進學生學會思考

對于本題，絕大多數學生束手無策，甚至沒有頭緒．這暴露出我們在立體幾何的教學中，還沒有幫助學生形成研究立體幾何問題的基本方法，學生還沒有形成必要的空間觀念．

立體幾何主要研究現實世界中物體的形狀、大小與位置關系．在教學中，要遵循從整體到局部、一般到特殊的路徑建構研究脈絡，運用“直觀感知、操作確認、推理論證、度量計算”的研究方法，關注研究立體圖形的一般思路，不斷滲透研究立體幾何問題的方法，促進學生空間觀念的形成，還要重視類比、合情推理等能力的培育．

在“思路一”中，應用類比推理將空間問題先退回到平面問題，有助于學生理解和解決新問題，幫助學生在研究新問題的過程中學會思考，在“知其然且知其所以然”的基礎上做到“何由以知其所以然”，使學生懂得“思維之道”．

2.重視“基本圖形”的作用，從概念的聯系中探尋思路

三角形是平面幾何的最基本圖形，而長方體是空間幾何的最基本圖形．在研究基本圖形位置關系時，無論對于空間點、直線、平面位置關系的整體認識，還是對于空間直線、平面的平行、垂直關系的定義、判定、性質等，都可以在長方形中找到對應的表示[1]．很多基本圖形也都可以與長方體建立聯系，而以長方體為基本圖形也方便了空間直角坐標系的建立．因此要以長方體作為基本圖形，貫穿于立體幾何教學的始終，幫助學生認識和探索空間圖形的性質，建立空間觀念．

在“思路二”中，充分利用長方體這一最基本的立體圖形，將正四面體還原為正方體來解，引導學生從概念的聯系性中探尋解題思路，教會學生運用最本質的東西來解決復雜的問題，做到大道至簡．

3.透徹領悟課程理念，準確把握教學要求

新課程背景下的立體幾何教學，雖然對空間相關定理的證明降低了要求，也減少了定理的數量，但用加強幾何直觀來促進空間想象能力的發展．在大量的實際背景、直觀操作和感知的基礎上，引導學生歸納、概括出若干定理，感受公理化思想，在經歷觀察、實驗、猜想、證明等數學活動中，促進相關數學結論的獲得及空間觀念的形成，發展合情推理能力和初步的演繹推理的能力[2]．

在立體幾何教學中，我們要注重幾何直觀，加強對基本圖形的認識，引導學生在直觀感知空間幾何體結構特征的同時，學會類比、學會推理、學會說理，養成言必有據的思維習慣．在空間向量的教學中，要鼓勵學生靈活選擇運用向量方法與綜合方法，從不同角度去解決立體幾何問題．在使幾何問題的處理更加靈活的同時，初步認識幾何問題代數化的意義，幫助學生更好地認識客觀世界，落實立體幾何教學的育人價值！