深挖教材習(xí)題資源 提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

甘肅省蘭州第一中學(xué) (730030) 岳輝平

教材是課堂教學(xué)的基本依據(jù)，是學(xué)生獲得知識(shí)與方法、積累間接經(jīng)驗(yàn)的重要途徑.充分利用和挖掘教材資源，讓學(xué)生獲得豐富的知識(shí)與靈活的方法，體會(huì)教材的引領(lǐng)和示范作用，更要讓學(xué)生在感知“感性——理性”這一認(rèn)識(shí)規(guī)律的同時(shí)注重“理論——實(shí)踐”的知識(shí)升華過程.只有這樣，才能提升和發(fā)展數(shù)學(xué)抽象，邏輯推理，數(shù)學(xué)建模，數(shù)學(xué)運(yùn)算，直觀想象，數(shù)據(jù)分析數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

函數(shù)與方程，數(shù)形結(jié)合，分類與整合，轉(zhuǎn)化與化歸，特殊與一般，有限與無限等基本數(shù)學(xué)思想在解決問題過程中的準(zhǔn)確把握和合理運(yùn)用正是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的具體、直觀體現(xiàn)，也是對(duì)學(xué)生從知識(shí)到能力、理論到實(shí)踐學(xué)習(xí)效果的檢驗(yàn).

充分利用好教材資源，就是充分利用好教材嚴(yán)謹(jǐn)、準(zhǔn)確的文字語言，簡(jiǎn)潔、規(guī)范的符號(hào)語言，直觀、清晰的和圖形語言和完整嚴(yán)、密的邏輯推理，充分利用好每一道例題、習(xí)題所體現(xiàn)的思路、解法及蘊(yùn)含的基本數(shù)學(xué)思想，處理好問題的聯(lián)系與區(qū)別、變與不變的關(guān)系、一題多解與多題一解的規(guī)律性.

解決教材的例題、習(xí)題，是學(xué)生理解和領(lǐng)會(huì)基本概念、鞏固和掌握基礎(chǔ)知識(shí)、獲得基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的最基本的保障，也是規(guī)范解題格式、明確解題思路、運(yùn)用數(shù)學(xué)思想檢驗(yàn)學(xué)習(xí)效果、提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題能力的重要內(nèi)容和環(huán)節(jié).例題、習(xí)題的教學(xué)能更好體現(xiàn)教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用.然而對(duì)于教材中的例題、習(xí)題，一些教師和學(xué)生只是停留在是否完成的低層次上，錯(cuò)誤的認(rèn)為簡(jiǎn)單而忽視了對(duì)教材習(xí)題內(nèi)涵和隱含的數(shù)學(xué)思想和方法的挖掘和探究，棄本求末，從而導(dǎo)致學(xué)生在知識(shí)、方法、思路、核心素養(yǎng)發(fā)展的基礎(chǔ)不牢固而深陷題海.

筆者在一節(jié)習(xí)題課的教學(xué)中，對(duì)人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-1第二章圓錐曲線與方程2.1曲線與方程37頁練習(xí)3，讓學(xué)生進(jìn)行解法的挖掘和探究，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，使學(xué)生獲得了基本的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

題目如圖1，已知點(diǎn)C的坐標(biāo)是(2，2)，過點(diǎn)C的直線CA與x軸交于點(diǎn)A，過點(diǎn)C且與直線CA垂直的直線CB與y軸交于點(diǎn)B.設(shè)點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，求點(diǎn)M的軌跡方程.

圖1

為了更具有一般性,將點(diǎn)C的坐標(biāo)是變更為(m，n)(mn≠0),以下就是課堂教學(xué)的部分情節(jié)：

提問學(xué)生并與學(xué)生一起依“求曲線方程的步驟”求得點(diǎn)M的軌跡方程(學(xué)生口述，教師板書)

S1:設(shè)點(diǎn)M(x，y)，知A(2x，0)，B(0，2y).

T:直線CA與直線CB垂直有哪些含義？

S1:直線的方向向量數(shù)量積為零；兩直線的斜率互為負(fù)倒數(shù)；勾股定理.

T:你所選擇的方法是？

S1:向量垂直.

點(diǎn)評(píng):邏輯推理嚴(yán)密,直截了當(dāng)，抓住了向量數(shù)量積為零這一向量垂直的關(guān)鍵條件.

接著學(xué)生S2試著依斜率互為負(fù)倒數(shù)來解決，

這時(shí)有學(xué)生立即補(bǔ)充.

綜上可知:點(diǎn)M的軌跡方程為2mx+2ny-m2-n2=0.

教室里響起了熱烈的掌聲，這掌聲是對(duì)S3分類討論的充分肯定.

點(diǎn)評(píng):“無法確定，立即討論”，分類討論思想運(yùn)用熟練.

接著讓學(xué)生分組討論“垂直”條件在三角形中怎樣利用.

不一會(huì)兒，大家找到了以下幾種方法.

S4:根據(jù)勾股定理，由CA⊥CB知△ABC是Rt△.故∣BC∣2+∣AC∣2=∣AB∣2，得(0-m)2+(2y-n)2+(2x-m)2+(n-0)2=(2x-0)2+(0-2y)2，即點(diǎn)M的軌跡方程為2mx+2ny-m2-n2=0.

點(diǎn)評(píng):解析法架起了“數(shù)”與“形”的橋梁，使數(shù)學(xué)運(yùn)算更快.

S5:根據(jù)直角三角形斜邊中點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，知∣MC∣=∣MA∣，得

點(diǎn)評(píng):熟知直角三角形性質(zhì)，基礎(chǔ)扎實(shí)，運(yùn)算快捷.

點(diǎn)評(píng):線段之長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)距離，轉(zhuǎn)化很及時(shí).

S7:由點(diǎn)M是Rt△ABC與Rt△ABO斜邊的中點(diǎn)，知∣MO∣=∣MC∣，得

點(diǎn)評(píng):直觀想象到位，給大家豁然開朗的思維提示.

顯然，S1是基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的收獲者.他直接得到點(diǎn)M的軌跡是直線:線段OC的中垂線.

這時(shí)教室里再次響起更熱烈的掌聲！

評(píng)價(jià):數(shù)學(xué)抽象及時(shí)，知識(shí)積累深厚，新思路水到渠成.

可見，讓主體發(fā)揮能動(dòng)作用，可以將教材資源得以充分的挖掘，對(duì)提升和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)非常有效.然而對(duì)這個(gè)問題的解決還沒有結(jié)束，第二天本班數(shù)學(xué)科代表又呈上了如下解法:

綜上可知,點(diǎn)M的軌跡方程為2mx+2ny-m2-n2=0.

對(duì)此，我及時(shí)地給予了肯定：引入?yún)?shù)解決問題思路好，基礎(chǔ)扎實(shí)，數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象一氣呵成，值得肯定！

“數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的本質(zhì)就是，會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界”.一花獨(dú)放不是春，百花齊放春滿園.通過對(duì)教材資源深挖廣拓，多角度思考，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)底蘊(yùn)更加深厚,根底更加牢靠，興趣激增，探究數(shù)學(xué)知識(shí)的欲望得以極大地提高，收獲滿滿.這無疑是提升、發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)積極有效的途徑.