利用原函數與導函數的性質命題舉隅

江西省南昌市鐵路第一中學 (330002) 章建榮江西省南昌市第十五中學 (330039) 龍光鵬

函數是高中數學中重要的研究對象，函數的奇偶性、對稱性等基本性質有著廣泛的研究價值和運用價值.在高中人教版教材中介紹了用導數討論函數的單調性、極值、最值等.但是對于函數的奇偶性和對稱性沒有給予討論.那么原函數與導函數之間的對稱性具有怎樣的性質呢？本文通過幾個相關定理，演繹運用導數和微積分知識研究原函數的奇偶性、對稱性.與此同時，利用這些性質創編了一些相關試題加以應用.

為了本文的敘述方便，文中函數f(x)是函數F(x)的導函數，且F(x)與f(x)均為連續的初等函數.一般地，認為函數f(x)與F(x)的定義域為R.

1.奇偶性

命題1 若函數F(x)為奇函數，則f(x)為偶函數.

證：因為F(x)為奇函數，所以F(-x)=

-F(x)，等式兩邊分別求導得到-F′(-x)=

-F′(x)，則F′(-x)=F′(x)，即f(-x)=f(x)，所以f(x)為偶函數.

命題2 若函數F(x)為偶函數，則f(x)為奇函數.

證：因為F(x)為偶函數，所以F(-x)=F(x)，等式兩邊分別求導得到-F′(-x)=F′(x)，即

-f(-x)=f(x)，所以f(x)為奇函數.

命題3 若函數f(x)為奇函數，則F(x)為偶函數.

命題4 若函數f(x)為偶函數，且F(0)=0，則F(x)為奇函數.

2.推廣探究

命題5 若函數F(x)關于點(a,b)中心對稱，則f(x)關于直線x=a軸對稱.

證：因為函數F(x)關于點(a,b)中心對稱，則F(x)+F(2a-x)=2b，等式兩邊進行求導得出F′(x)-F′(2a-x)=0，則F′(x)=F′(2a-x)，即f(x)=f(2a-x)，故f(x)關于直線x=a軸對稱.

命題6 若函數F(x)關于直線x=a軸對稱，則f(x)關于點(a,0)中心對稱.

證：因為函數F(x)關于直線x=a軸對稱，則F(x)=F(2a-x)，等式兩邊求導得出F′(x)=

-F′(2a-x)，則F′(x)+F′(2a-x)=0，即f(x)+f(2a-x)=0，所以f(x)關于點(a,0)中心對稱.

命題7 若函數f(x)關于點(a,0)中心對稱，則F(x)關于直線x=a軸對稱.

命題8 若函數f(x)關于直線x=a軸對稱，且F(a)=b，則F(x)關于點(a,b)中心對稱.

3.命題舉隅

例1 已知偶函數f(x)滿足f(1)=2，f′(1)=1，則曲線y=f(x)在x=-1處的切線方程為.

解析：因f(x)為偶函數，f(1)=2，所以f(-1)=2，則函數f′(x)為奇函數，又因為f′(1)=1，所以f′(-1)=-f′(1)=-1，則切線方程為x+y-1=0.

例2 已知函數f(x)滿足，對任意的x∈R，都有f(-x)=-f(x)，且x≥0時，f′(x)>0，則( ).

A.當x<0時，xf′(x)>0

B.當x<0時，f(x)f′(x)<0

C.當x<0時，xf(x)<0

D.當x<0時，f(x)>f′(x)

解析:因為函數f(x)滿足f(-x)=-f(x)，則函數f(x)為奇函數，則f′(x)為偶函數，又因為x∈R，則f(0)=0，又因為當x≥0時，f′(x)>0，則函數f(x)在[0,+∞)上單調遞增，則x>0時，f(x)>f(0)=0，則當x<0時，f(x)<0；當x<0時，f′(x)>0.故選B.

例3 已知偶函數f(x)的定義域為R，且函數f(x)的圖像關于點(1,2)對稱，則f′(2)+f′(4)=.

解析:因為f(x)是R上的偶函數，則f′(x)為R上的奇函數，則f′(0)=0，又因為函數f(x)的圖像關于點(1,2)對稱，則函數f′(x)的圖像關于直線x=1對稱，則f′(2)=f′(0)=0，且f′(x)的周期為4，則f′(4)=f′(0)=0，則f′(2)+f′(4)=0.

例4 已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，且f(1)=0，其導函數f′(x)滿足f′(1-x)=f′(1+x)，則f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2020)=.

解析:因為函數f(x)是定義在R上的奇函數，則f(0)=0，又因為f(1)=0，導函數f′(x)滿足f′(1-x)=f′(1+x)，則函數f(x)關于點(1,0)對稱，則f(x)的周期為2，即f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2020)=0.

探究教材外的一些性質，并嘗試編創一些試題，是非常有益的和必要的.同時，我們還應該引導學生自主或合作的方式進行類似的探究，有助于提升學生發現問題和解決問題的能力，有利于培養學生的學科核心素養.