從學(xué)會(huì)解題到學(xué)會(huì)命題
——一個(gè)征解問(wèn)題的探究與變式

上海市行知中學(xué) (201999) 范廣哲

武漢職業(yè)技術(shù)學(xué)院商學(xué)院 (430074) 鄒 峰

一、題目呈現(xiàn)

題目(《數(shù)學(xué)通訊》(上半月)2019年第10期問(wèn)題423)已知實(shí)數(shù)x,y,z滿(mǎn)足x2+2y2+3z2=36，求p=xy+xz+yz+x+20y+51z的最大值.

二、命題揭秘

本征解問(wèn)題由筆者之一鄒峰老師提供.命題意圖是想考查學(xué)生靈活運(yùn)用熟知的二元均值不等式的能力.為增加解題思維量，提高探索難度，出題時(shí)設(shè)計(jì)為三元形式，為使問(wèn)題簡(jiǎn)捷美觀，條件和所求都是三元二次型，條件和所求式中的項(xiàng)不重復(fù).設(shè)置當(dāng)x=1,y=2,z=3時(shí)取最值，即可寫(xiě)出條件x2+2y2+3z2=36，隨后由均值不等式及其取等號(hào)條件設(shè)計(jì)出所求p=xy+xz+yz+x+20y+51z，稍加整理即形成文首征解問(wèn)題和下面的解法.

三、變式研究

找到解決問(wèn)題的“鑰匙”，也就找到命題者命題的方法和技巧，從而同學(xué)們也可以實(shí)現(xiàn)從學(xué)會(huì)解題到學(xué)會(huì)出題的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升.

1、增加字母?jìng)€(gè)數(shù)，可以命制更多元的最值問(wèn)題.

提示:當(dāng)a1=2,a2=1,a3=4,a4=3時(shí)，取得最大值為265.

2、更換字母系數(shù)，可以命制不同的最值問(wèn)題.

3、引入?yún)?shù)系數(shù)，可以命制含參最值問(wèn)題.

提示:所求最大值為30k+235，當(dāng)且僅當(dāng)a1=4,a=1,a3=3,a4=2時(shí)取得.

4、引入?yún)?shù)并改換字母系數(shù)，可以命制更有思維價(jià)值的最值問(wèn)題.

最后給出一個(gè)n元推廣：

四、問(wèn)題拓展

題1 已知a,b,c∈R，且a+2b+3c=10，求p=a2+b2+c2+ab+ac+bc的最小值.

題2 已知a,b,c,d∈R，且a+2b+3c+4d=10，求p=a2+b2+c2+d2+ab+ac+ad+bc+bd+cd的最小值.

下面給出兩問(wèn)題的推廣證明：