泰勒定理在高考數學試題中的命題分析

四川師范大學數學科學學院 (610068) 紀定春 曾小華 楊登煉

英國著名數學家泰勒于1712年得到泰勒微分中值定理，半個世紀后通過拉格朗日的研究而被大家所知曉．約一個世紀后，柯西給出了其收斂性的嚴格證明，隨后便在復變函數的發展中得到了推廣和應用．泰勒定理是高等數學微分中值定理的重要理論之一，在高等數學中具有廣泛的應用價值，也是高考數學創新型試題的命題點．近年來，以泰勒定理為切入點命制的高考數學創新型試題較多，這些試題可以通過初等數學的方法來解決，但是有一定的難度和挑戰性，該類型試題多出現在高考數學壓軸題中，這種試題不僅具有基礎性、綜合性、新穎性和創新性等特點，而且在一定程度上，可以考查考生是否具有進一步學習高等數學的潛質．接下來，對泰勒定理作簡單介紹，并對泰勒定理在高考數學中的命題進行分析和評注，希望對大家有所幫助．

1.泰勒定理簡介

當x0=0時，泰勒展開式又稱為麥克勞林展開式，這可以將(基本)初等函數用多項式函數的形式表示出來，最為直接的應用，就是可以借助展開的函數來估值，這對估計無法直接計算或難以直接計算的函數值具有重要的價值和意義．

2.泰勒定理在高考數學試題中的命題分析

例1 (2014年新課標2理科第21題)設函數f(x)=ex-e-x-2x．(Ⅰ)略；(Ⅱ)略；

圖1

例3 (2017全國理科卷Ⅱ第21題)已知函數f(x)=ax2-ax-xlnx，且f(x)≥0．

(Ⅰ)求a；(Ⅱ)略．

解析:顯然函數f(x)定義域為x∈(0,+∞)．因為f(x)≥0，所以ax2-ax-xlnx≥0．又因為x∈(0,+∞)且x(ax-a-lnx)≥0，所以只需證明ax-a-lnx≥0．考慮分離參數，然后進行分類討論．

圖2

例4 (2017年全國卷Ⅲ第21題)已知函數f(x)=x-1-alnx．

(Ⅰ)若f(x)≥0，求a的值；(Ⅱ)略．

分析:對問題(Ⅰ)，要使f(x)≥0，等價于x-1-alnx≥0．考慮分離參數a，顯然需要分類討論．

評注：可見，2017年全國卷Ⅱ和卷Ⅲ是“姊妹”題，命題的方式都是相同的，只是參數的位置不相同，但參數值相同．因此，可以類比例3的分析和解答過程．

例5 (2018全國文科卷Ⅰ第21題)已知函數f(x)=aex-lnx-1．

圖3

評注:可見，問題(Ⅱ)蘊含高等數學內涵：泰勒定理．從泰勒定理衍生出兩個重要的不等式“ex≥1+x”和“lnt≤t-1”．通過一次函數，溝通兩個不等式之間的關系．站在高等數學的視角(或反函數視角)，可以看出直線y=x是函數y=ex-1和y=lnx+1的對稱軸，這條直線將兩個“凹凸性”相反的函數分隔開．其實，函數的凹凸性是高考數學命題的重要切入點，這一點是值得研究的．

(Ⅰ)略；(Ⅱ)證明：當a≥1時，f(x)+e≥0．

解析:對問題(Ⅱ)，當a=1時，欲證f(x)+e≥0，需證ex+1≥1-x-x2．通過圖4，可以發現，函數y=1-x-x2的圖像始終在y=ex+1的下方．當x=-1時，兩個函數值相等，即表明當a=1時，兩函數有唯一交點．由泰勒定理，可知ex+1≥1+(1+x)=2+x，所以ex+1-(1-x-ax2)≥ax2+2x+1，要使ax2+2x+1≥0成立，則需要a>0且Δ≤0，可得a≥1．

圖4

評注:問題(Ⅱ)是不等式成立問題，主要考查導數的綜合應用．巧用泰勒定理，將指數函數放縮成一次函數，再利用判別式法，得出參數的范圍，最終證明不等式成立．

3.教學啟示

注重數形結合、邏輯思維和直覺思維并重．我國著名數學家華羅庚先生曾講：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔離分家萬事休．”可見，華羅庚先生對數形結合思想有很高的評價，應值得我們仔細思考．純粹的代數運算，對培養學生的抽象思維和邏輯運算是有益的．直覺思維的發展，需要借助幾何圖形的直觀性，而直覺思維是創新的一種重要思維方式，因此，發展直覺思維對創新意識的培養是有意義的．現代心理學和腦科學研究表明，人腦對圖片的加工能力遠超過對字母的加工能力，一般來講，右腦負責圖片加工，左腦負責語義加工，兩者協調，共同完成對事物的認知圖式．因此，在教學活動中，應結合圖形(幾何)直觀性來加深對代數(抽象符號)的理解，即數形結合．

抓住問題本質，注重“變式”教學．本質是構成問題的核心要素．“變式”教學“變”的是問題的非本質屬性，抓住并概括出問題的本質屬性，是數學教學培養學生數學思維的重要途徑．通過上述的分析，不難發現“ex≥1+x”和“x-1≥lnx”，就是最本質的結構，但對其進行變式，將會衍生出不同的結構．米勒的組塊理論指出，一個正常人能夠同時加工的信息量是“7±2”，即工作記憶的容量大致為5至9個信息，問題的非本質屬性占據的內容越多，就不容易形成對事物本質的認識，也不利于工作記憶(短時記憶)中的信息編碼進入長時記憶．而變式教學，變化的是問題的非本質因素，對突出問題本質是有價值的，有利于學生對數學核心要素的加工和編碼，進而促進對問題本質的認識．因此，在教學活動中，應抓住問題本質，注重變式教學．