一道模考題的本源探究及其拓展

江西省南昌市新建二中 (330100) 金 矗

題目(2020年南昌市一模理科第20題)已知圓F1：(x+1)2+y2=r2(1≤r≤3)，圓F2：(x-1)2+y2=(4-r)2.

(1)證明圓F1與圓F2有公共點(diǎn)，并求公共點(diǎn)的軌跡E的方程.

(2)已知點(diǎn)Q(m,0)(m<0)，過點(diǎn)F2斜率為k(k≠0)的直線與(1)中軌跡E相交于M,N兩點(diǎn)，記直線QM的斜率為k1，直線QN的斜率為k2，是否存在實(shí)數(shù)m使得k(k1+k2)為定值？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由.

本題結(jié)構(gòu)清晰，求解的思維和運(yùn)算過程體現(xiàn)了能力立意的命題思想，體現(xiàn)了對(duì)直線與圓錐曲線核心內(nèi)容和基本思想方法的考查.通過挖掘圖形的幾何性質(zhì)，可以得到以下更深刻的命題和結(jié)論.

結(jié)論命題中其他條件不變，若Q為橢圓右頂點(diǎn)時(shí)，則有k(kQM+kQN)=-2-2e成立.

同樣地，過焦點(diǎn)F且斜率為k的直線與橢圓(離心率為e)交于M、N兩點(diǎn)，Q為橢圓長軸上的頂點(diǎn).則有:(1)若焦點(diǎn)F與頂點(diǎn)Q位于y軸同側(cè)，則k(kQM+kQN)=-2-2e；

(2)若焦點(diǎn)F與頂點(diǎn)Q位于y軸異側(cè)，則k(kQM+kQM)=-2+2e.

進(jìn)一步，在雙曲線中也有相似結(jié)論:

(1)若焦點(diǎn)F與頂點(diǎn)Q位于y軸同側(cè)，則k(kQM+kQN)=-2-2e；

(2)若焦點(diǎn)F與頂點(diǎn)Q位于y軸異側(cè)，則k(kQM+kQM)=-2+2e.

綜上可見，教師在講評(píng)試卷時(shí)不能就題論題，而要重視研究和開發(fā)試題的教育意義.教師不僅要以數(shù)學(xué)研究者參與實(shí)踐與體驗(yàn),而且要以研究者的思維與邏輯組織教學(xué)；不應(yīng)只局限于問題本身,而應(yīng)借助試題的背景,將問題引向深入，探索隱藏在問題背后的源與流，由此找到解決問題的思維共性.只有這樣我們才能領(lǐng)會(huì)到試題的深刻背景，真正達(dá)到跳出題海,實(shí)現(xiàn)觸類旁通、舉一反三的教學(xué)目標(biāo).