三種思路破解一道定值題

江蘇省淮安市新淮高級中學 (223001) 王恩普

高考中經常會出現涉及到定值的一類題型，難度較大，考查的知識相對綜合，典型的特點是運算量大，費時費力，令很多人望而生畏，下面分別從通法、設而不求、平面幾何三個角度，對一道直線與圓中的定值問題進行研究.

題目已知圓C:(x-3)2+(y-4)2=4，直線l1過定點A(1,0)，若l1與圓相交于P,Q兩點，線段PQ的中點為M，又l1與l2:x+2y+2=0的交點為N，判斷|AM|·|AN|是否為定值.若是，則求出定值；若不是，請說明理由.

思路1:(通法)如圖1，因為直線l1與圓相交，所以斜率存在，不妨設為k，則直線l1：y=k(x-1),聯立

圖1

點評:解法自然，屬于通性通法，重在通過聯立方程組解交點.方法容易想到，但是需要一定的運算求解和邏輯推理素養.同時也提醒我們在平時的學習過程中要加強這方面的訓練.

圖2

點評:與解法一相比，整體思路相似，但是設而不求的方法避開了繁瑣的解交點的步驟，大大減少了運算量，“隔山打牛”的過程，既提高了速度，又增加了過程的準確率.

圖3

點評:題目中的隱含條件的挖掘顯得很重要，發現了垂直條件，進而得到兩個三角形相似，從而使得所求的距離之積轉化成了兩個定值的乘積，得到解決.順著這個思路，還可以歸納出一般性的結論，其實就是垂直條件是最后定值的保證.

在平時的解題過程中，我們不僅要關注通性通法，熟練的掌握通性通法，同時也要關注在通性通法下的解題過程的優化，可以是思路上的調整，也可以是運算過程的調整，這樣的思考也會真正提高自身的解題能力，發展自身的數學素養.